Utilice la derivada direccional para estimar el cambio en $f(x,y)=\cos\pi xy+xy^2$ como punto $(-1,-1)$ mueve la distancia de $0.1$ a lo largo del vector $i+j$

Question

Utilice la derivada direccional para estimar cuánto $f(x,y)=\cos\pi xy+xy^2$ cambiará si el punto $P$ se traslada de $(-1,-1)$ una distancia de $0.1$ a lo largo del vector $i+j$

No sé cómo resolver este problema ¿puede alguien darme algunas pistas sobre lo que quiere el problema?

la respuesta en mi libro de texto es $0.15\sqrt2$

Answer 1

Tenemos $$\nabla f=(-\pi y\sin\pi xy+y^2,-\pi x\sin\pi xy+2xy)$$ $$(\nabla f)(-1,-1)=(1,2)$$ El vector de longitud $0.1$ en la dirección indicada es $\frac{0.1}{\sqrt2}(1,1)$ . El cambio estimado es entonces la derivada direccional calculada con este vector de desplazamiento, es decir, el producto punto con $\nabla f$ : $$\frac{0.1}{\sqrt2}(1,2)\cdot(1,1)=\frac{0.3}{\sqrt2}=\frac{0.3\sqrt2}2=0.15\sqrt2$$