Demuestre que el límite $\lim_{(x, y)\to(0, 0)}\frac{x^2\cdot y}{x^2 + y^3}$ no existe.

Question

$$\lim_{(x, y)\to(0, 0)}\frac{x^2\cdot y}{x^2 + y^3}$$ Intentaba encontrar dos trayectorias a lo largo del plano x-y que al seguirlas llevaran a límites diferentes, pero siempre obtenía 0.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$(\forall n\in\mathbb N):f\left(\frac1{n^3},-\frac1{n^2}+\frac1{n^4}\right)=\frac{n^2-n^4}{3 n^4-3 n^2+1}$$ y que $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2-n^4}{3 n^4-3 n^2+1}=-\frac13\neq0.$$