Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta pero estoy casi seguro de que necesito algún resultado que no conozco. Soy libre de utilizar cualquier herramienta de teoría de la medida. Se agradece cualquier ayuda.
Si $\lambda$ es positiva, finita, regular, medida de Borel en la recta real y $f\in L^1(\lambda )$ Supongamos que $\int_{(-\infty ,x]}fd\lambda =0, \forall x\in \mathbb{R}$ entonces demuestre que $f=0$ a.e.
La regularidad es irrelevante aquí. Dejemos que
$$ G := \{M \in \mathcal{B}\,\mid\, \int_M f \,d\lambda =0\}, $$ donde $\mathcal{B}$ es el álgebra sigma de Borel.
Es fácil ver que $G$ es cerrado bajo el contable disyuntiva sindicatos.
Dejando $x=n\to\infty$ en $0=\int_{(-\infty, x]} f \,d\lambda$ vemos $\Bbb{R}\in G$ (convergencia dominada), lo que permite ver fácilmente que $G$ es cercano bajo complementos. Por lo tanto, $G$ es un $\lambda$ (también llamado sistema Dynkin).
Desde $G$ contiene el $\pi$ sistema de todos los $(-\infty, x]$ que también genera el álgebra sigma de Borel, obtenemos $G=\mathcal{B}$ .
Ahora dejemos que $M=\{x \mid f(x)\geq 0\}$ (y análogamente para $\leq$ ), para obtener $f=0$ $\lambda$ casi en todas partes.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
