¿Es posible demostrar que la serie armónica es divergente mostrando que la secuencia de sumas parciales es una secuencia monótona creciente no limitada?
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Tal vez hayas visto la prueba de la integral, y te gustaría una prueba más "práctica", en la que puedas sentir un límite. Aquí hay una prueba de este tipo:
$$ \begin{align}1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}...+\frac{1}{2^{n}-1} &> \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right) ...+\frac{1}{2^n}\\ &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}\\ &=\frac{n}{2} \end{align} $$
Así que la suma de la primera $2^n-1$ términos de la serie armónica es mayor que $\frac{n}{2}$ . Como todos los términos son positivos, la secuencia de sumas parciales es monótona creciente, y esta subsecuencia especial diverge al infinito positivo, ¡así que hemos terminado!
marty cohen
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De otra manera, que es moderadamente equivalente.
Dejemos que $S_n = \sum_{k=1}^n \frac1{k}$ . $S_n$ es obviamente una secuencia creciente.
$S_{2n}-S_n =\sum_{k=1}^{2n} \frac1{k}-\sum_{k=1}^n \frac1{k} =\sum_{k=n+1}^{2n} \frac1{k} >\sum_{k=n+1}^{2n} \frac1{2n} =\frac{n}{2n} =\frac12 $
por lo que, por inducción $S_{2^mn}-S_n >\frac{m}{2} $ así que $S_{2^mn}$ se puede hacer tan grande como quieras haciendo $m$ lo suficientemente grande.
Tenga en cuenta que esto también muestra que $S_{2n}-S_n =\sum_{k=n+1}^{2n} \frac1{k} <\sum_{k=n+1}^{2n} \frac1{n} =\frac{n}{n} =1 $ por lo que, por inducción $S_{2^mn}-S_n <m $ así que para hacer $S_{2^mn}$ grande, hay que subir exponencialmente.
Por eso $S_n$ se trata de $\log n$ .
