Demostrar que $\mathcal{U}$ es un anillo

Question

Dejemos que $X$ sea un conjunto. Entonces $\emptyset \neq \mathcal{S} \subset 2^{X}$ se llama semianillo si:

(a) $A, B \in \mathcal{S} \Rightarrow A\cap B \in \mathcal{S}$

(b) $A, B \in \mathcal{S}$ implican que $A\setminus B$ es una unión disjunta finita de elementos de $\mathcal{S}$ .

Por otro lado, $\mathcal{S}$ se llama anillo si $A, B \in \mathcal{S} \Rightarrow A \cup B \in \mathcal{S}$ y $A\setminus B \in \mathcal{S}$ .

Dejemos que $\mathcal{S}$ sea un semianillo y $\mathcal{U}$ sea el conjunto de todas las uniones disjuntas finitas de elementos de $\mathcal{S}$ . Quiero demostrar que $\mathcal{U}$ es un anillo. Es evidente que $\mathcal{U}$ es cerrado bajo la unión finita por lo que sólo tengo que demostrar la segunda propiedad.

Mi prueba: Dejemos que $A, B \in \mathcal{U}$ para que..: $$A = \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \quad \mbox{and} \quad B = \bigcup_{j=1}^{m} B_{j}$$ donde $A_{1},...,A_{n} \in \mathcal{S}$ son todos disjuntos y $B_{1},...,B_{m}\in \mathcal{S}$ también son disjuntos. Tenemos: $$A \setminus B = \bigcup_{i=1}^{n}\bigcap_{j=1}^{m} A_{i}\setminus B_{j}$$ y porque $\mathcal{S}$ es un semianillo, cada $A_{i}\setminus B_{j}$ es la unión finita de los elementos de $\mathcal{S}$ digamos: $$A_{i}\setminus B_{j} = \bigcup_{l=1}^{k(i,j)}F_{l}^{ij}$$ Por lo tanto, $$A\setminus B = \bigcup_{i=1}^{n}\bigcap_{j=1}^{m}\bigcup_{l=1}^{k(i,j)}F_{l}^{ij} = \bigcup_{i=1}^{n}\bigcup_{l=1}^{k(i,j)}\bigcap_{j=1}^{m}F_{l}^{ij}$$ Pero como cada $F_{l}^{ij} \in \mathcal{S}$ y $\mathcal{S}$ es cerrado bajo intersecciones finitas, $S_{l}^{i} = \bigcap_{j=1}^{m}F_{l}^{ij} \in \mathcal{S}$ y todos ellos son disjuntos. Por lo tanto, $A\setminus B \in \mathcal{U}$ .

¿Es correcta mi prueba? No estoy seguro de estos últimos argumentos.

Answer 1

Creo que su argumento es correcto. Me llevó un tiempo darme cuenta de que estás reescribiendo $\bigcup_{l=1}^{k(i, j)}F_{l}^{ij}$ para hacer valer directamente la disociación. Todavía no estoy 100% seguro de cuál es la función $k$ es.

Creo que se puede demostrar con un lema que cualquier unión finita no necesariamente disjunta en el semiring se puede reescribir en una unión finita disjunta. La unión puede crecer en número de componentes, pero seguirá siendo finita. Si se demuestra ese lema por separado, entonces se puede utilizar directamente la unión original de las intersecciones.

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Creo que también se puede demostrar esto con inducción, concretamente considerando el número de componentes de las uniones disjuntas finitas. Estoy usando una notación no estándar aquí.

Si $A_0$ es una unión disjunta finita no vacía, entonces es igual a $a:A$ donde $a$ es un elemento de la unión y $A$ es una unión disjunta finita posiblemente vacía. Utilizando un $:$ esta forma no es la notación estándar. También utilizaré de forma no estándar $X^u$ para denotar la unión del conjunto $X$ .

Podemos ver los diferentes casos para $A^u \setminus B^u$ .

$ \varnothing \setminus \varnothing $ es $\varnothing$ .

$ A^u \setminus \varnothing $ es $A^u$ que es una unión disjunta finita por hipótesis.

$ \varnothing \setminus B^u $ es $\varnothing$ .

$ (a : A) \setminus (b : B) $ es $((a \setminus b) \cap (a \setminus B^u)) \cup ((A^u \setminus b) \cap (A^u \setminus B^u)) $ . Esto es casi lo mismo que lo que hiciste, sólo que empaquetado de forma ligeramente diferente. La unión más externa es disjunta porque $a$ y $A^u$ son disjuntos por hipótesis y siguen siendo disjuntos cuando se quitan elementos.

Podemos demostrar que nuestro anillo es cerrado bajo $(x, y) \mapsto x \setminus y$ induciendo sobre la longitud de la unión disjunta con más componentes.