Pues bien, es bien sabido que existe un único grupo simple de orden $60$ hasta el isomorfismo. Este grupo se llama grupo alterno en $5$ que se denota por $A_5$ .
Me sorprende que plantee esto como una pregunta de opción múltiple, porque el hecho que había escrito arriba requiere una buena cantidad de trabajo.
Además, su argumento de que el subgrupo de orden $3$ (si es que existe, no estás seguro de que lo haga, ¡pero lo hace!) es normal.
El teorema establece que Subgrupo de índice igual al menor divisor primo del orden del grupo es normal .
Entonces, el menor primo que divide el orden del grupo es $3$ que debe ser el índice del subgrupo. Entonces, se busca el subgrupo de orden $7$ .
Para demostrar la existencia de un subgrupo de ese orden, utilice Teorema de Cauchy .
Del mismo modo, un grupo en el que cada elemento tiene un orden divisible por $p$ para un primer $p$ se llama $p$ -grupo. A $p$ -tiene un centro no trivial. Utiliza este hecho para concluir que un grupo de orden $9$ tiene un subgrupo normal no trivial.
Finalmente para un grupo de orden $98$ , utiliza el hecho de que Sylow $7$ -el subgrupo es el orden $49$ y por tanto de índice $2$ y, por tanto, normal en todo el grupo.
Usa Google. Buena suerte.
( Pínchame en caso de que tengas algún problema. )
