Si cada primer ideal es máxima, lo que podemos decir sobre el anillo?

Question

Supongamos $R$ es un anillo y cada primer ideal de $R$ también es un ideal maximal de a $R$. Entonces, ¿qué podemos decir sobre el ring $R$?

Answer 1

Para un anillo conmutativo, tener todos los números primos máxima tiene una simple caracterización: $R/J(R)$ es von Neumann regular y $J(R)$ es un nil ideal, donde $J(R)$ es el Jacobson radical.

Este se recupera todo lo anteriormente mencionado:

• Al $R$ es Artinian, $R/J(R)$ es semisimple (de ahí el VNR) y $J(R)$ es nilpotent (por lo tanto nulo.)

• Al $R$ es VNR, a continuación, $J(R)=\{0\}$ (por lo tanto, nil) y $R/J(R)=R$ es, obviamente, el VNR.

• Al $R$ es Noetherian, nil $J(R)$ se convierte en un nilpotent $J(R)$, y un Noetherian $R/J(R)$ es necesariamente semisimple, entonces Hopkins-Levitzki dice que $R$ es Artinian.

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Yo no soy consciente de que una respuesta definitiva para no conmutativa anillos. Las cosas son diferentes porque no simples anillos son mucho más diversos que los de los campos, el primer ideales son menos agradable, la localización no es agradable, y nilpotent elementos no necesariamente viven en $J(R)$ más.

He aquí un montaje de generalización que he encontrado. El teorema anterior para conmutativa anillos es "$R/J(R)$ es el VNR y $J(R)$ es nula, iff $R/P$ es un campo para cada primer ideal $P$", y el siguiente también es cierto: "$R/P$ es un anillo de división para todos el primer ideales $P$ fib $R/J(R)$ es fuertemente regular y $J(R)$ es nula".

Answer 2

Asumo $R$ es conmutativa. Un anillo se dice que tiene dimensión de Krull $0$ o a ser cero-dimensional.

• Cada campo es cero-dimensional. Más generalmente, cada Artinian anillo local es cero-dimensional.
• (Edit: finito) producto de cero-dimensional de los anillos es cero-dimensional. En particular, cada (edit: finito) producto de Artinian local anillos es cero-dimensional.
• Cada anillo Booleano es cero-dimensional. Esto le da un suministro de ejemplos que son, en general, ni Noetherian ni productos de Artinian local de los anillos.
• De acuerdo a Wikipedia, cero-dimensional y la reducción es equivalente a la de von Neumann regular.

No creo que hay una buena clasificación arbitraria de los anillos de la dimensión de Krull $0$ (y no tengo idea de lo que sucede en el no conmutativa caso).

Answer 3

Si asumimos $R$ es conmutativa y Noetherian, esta propiedad es equivalente a $R$ ser un Artinian anillo (es decir, la satisfacción de las descendente de la cadena de condición). Esos anillos son finitos productos de Artin local de los anillos.

Reducción de Artin local anillos, campos. Algunos ejemplos incluyen la reducción de $k[x]/(x^n)$, $k$ un campo, y, más generalmente,$k[x_1,\ldots,x_n]/I$, donde Rad$(I)=(x_1,\ldots,x_n)$. También hay ejemplos de que no contienen un campo, como $\mathbb{Z}/(p^n)$, $p$ un primo.

Answer 4

Para un anillo conmutativo $R$, los siguientes son equivalentes:

• Cada primer ideal es máxima.
• $\dim(R)=0$
• $R/\sqrt{0}$ es von Neumann regular
• Para todos los $x$ hay algo de $n \in \mathbb{N}$ tal que $x^{n+1}$ divide $x^n$.

Hay una gran teoría acerca de la $0$-dimensiones conmutativa anillos, véase, por ejemplo, David F. Anderson, David Dobbs, "Cero-Dimensional Conmutativa de los Anillos" (Notas de la Conferencia en Pura y Matemática Aplicada).

Answer 5

Si $R$ es una parte integral de dominio, a continuación, $(0)$ es primo, entonces es máxima, y $R$ sólo tiene dos ideales, $(0)$$R$. En otras palabras, es un campo.

Si no, pero es Noetherian, todavía Artinian (debido a su dimensión de Krull es $0$).

No estoy seguro de lo que se puede decir si $R$ no es Noetherian.