¿Existe una métrica de firma dividida canónica en $\mathbb{P}^n\times\mathbb{P}^{n\,\ast}$ ?

Question

Dejemos que $$ M:=\{(P,\pi)\mid P\not\in\pi\}\subset\mathbb{P}^n\times\mathbb{P}^{n\,\ast} $$ sea el abierto y denso (y como tal $2n$ -de pares punto-hiperplano no coincidentes. Si $P=\mathbb{P}(\ell)$ y $\pi=\mathbb{P}(W)$ con $\ell$ y $W$ subespacios lineales de $V:=\mathbb{K}^{n+1}$ de dimensión $1$ y $n$ respectivamente, entonces la condición $P\not\in\pi$ equivale a $\ell\cap W=0$ es decir, $M$ es el complemento del colector de banderas $\mathrm{Fl(1,n;V)}$ .

De acuerdo, hay una cadena de identificaciones obvias y canónicas: $$ T_{(P,\pi)}M=T_P \mathbb{P}^n \oplus T_\pi \mathbb{P}^{n\,\ast}=\left(\ell^\ast\otimes\frac{V}{\ell}\right)\oplus\left(\pi^*\otimes\frac{V}{\pi} \right)=(\ell^*\otimes\pi)\oplus(\pi^*\otimes\ell)=(\ell^*\otimes\pi)\oplus(\ell^*\otimes\pi)^*\, , $$ demostrando que $M$ está dotado de una métrica canónica de firma dividida (en la medida en que cada espacio lineal de la forma $Z\oplus Z^*$ lleva un producto escalar de firma dividida).

PREGUNTA 1: ¿cuál es el origen de dicha métrica? ¿refleja algunas propiedades elementales de los puntos e hiperplanos en los espacios proyectivos? ¿cuál es el contexto en el que desempeña el papel más relevante? ¿cómo depende del campo terreno? $\mathbb{K}$ ? (por ejemplo, cuando $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ ¿hay alguna relación con la métrica Fubini-Study?) ¿se generaliza a los pares no incidentes en $\mathbb{G}(k,n)\times\mathbb{G}(n-k-1,n)$ ?

Motivaciones: He encontrado esta métrica en una hermosa preimpresión donde va bajo el nombre de "métrica de baile" y se define de forma innecesariamente (al menos para mí) complicada, y sólo para $n=2$ (la definición anterior -espero que sea correcta- la deduje yo mismo). Le confesé al autor que tal estructura es tan elemental que ya debería haber aparecido y estudiado hace tiempo, pero me dijo que sólo sabe que está "de alguna manera relacionada con la métrica para-Fubini-Study". También buscando este foro No he podido encontrar ninguna pista, a pesar de los numerosos mensajes relativos a la métrica en Grassmannians.

PREGUNTA 2: ¿puedo extender esta métrica a todo el $\mathbb{P}^n\times\mathbb{P}^{n\,\ast}$ y caracterizar $\mathrm{Fl(1,n;V)}$ En caso afirmativo, ¿funcionaría esta idea también para $k>1$ ?

Answer 1

Respecto a la pregunta 1: Por supuesto, esto se generaliza al espacio $\mathrm{S}_{pq}(V)$ de todas las divisiones de un espacio vectorial $V$ en subespacios $V = P\oplus Q$ donde $\dim P = p>0$ y $\dim Q = q>0$ y, por supuesto, $\dim V = p+q$ .

El espacio tangente en $(P,Q)\in \mathrm{S}_{pq}(V)$ es canónicamente isomorfo a $(P{\otimes}Q^*)\oplus (Q{\otimes}P^*)$ por las mismas razones que usted enumera en el caso de que $p$ o $q$ es $1$ Así que se aplica el mismo razonamiento.

Cuando el campo de tierra es $\mathbb{R}$ se trata de un espacio simétrico irreducible (de tipo dividido) y, como tal, aparece en la clasificación de Berger de los espacios simétricos pseudo-riemannianos como $\mathrm{SL}(V)/\mathrm{S}(\mathrm{GL}(P){\times}\mathrm{GL}(Q))$ .

Cuando el campo de tierra es $\mathbb{C}$ este espacio puede considerarse naturalmente como una complejización del espacio $\mathrm{Gr}_p(V)$ de $p$ -aviones en $V$ . Esta métrica canónica resulta entonces ser, en un sentido apropiado, la extensión holomórfica de la métrica de Fubini-Study sobre $\mathrm{Gr}_p(V)$ (definida con respecto a cualquier producto interno hermitiano definido positivo sobre $V$ ) a esta complejización.

Respecto a la pregunta 2: La métrica (como forma cuadrática) no se extiende continuamente al producto $\mathrm{Gr}_p(V)\times\mathrm{Gr}_q(V)$ . La razón es que la forma de volumen de la métrica canónica sobre $\mathrm{S}_{pq}(V)$ da $\mathrm{S}_{pq}(V)$ volumen infinito, lo que no podría hacer si la forma cuadrática se extendiera continuamente a través de la hipersuperficie de incidencia. (Basta con ver el caso $p=q=1$ para convencerse de ello).