Me preguntaba si una fórmula de la forma $\exists xP(x)$ , donde $P(x)$ es una fórmula cualquiera, puede ser una tautología. Para mí el dominio podría estar vacío, y por tanto no es satisfacible en toda estructura. Pero desde un punto de vista intuitivo esto es difícil de entender, especialmente si hay varios cuantificadores anidados e implicaciones involucradas, donde el antecedente podría entonces ser falso.
Respuesta
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En última instancia, esto depende de la semántica que utilicemos. La mayoría de las presentaciones de la lógica de primer orden hacen no permiten que el dominio esté vacío; en consecuencia, frases como " $\exists x(x=x)$ "son tautologías. Por otro lado, si permitimos el dominio vacío, entonces ninguna oración de la forma " $\exists xP$ " puede ser una tautología, ya que tal frase no puede sostenerse en la estructura vacía (del mismo modo, ninguna frase de la forma " $\forall x P$ " puede ser una contradicción, ya que dicha frase no puede falla en la estructura vacía).
