Cómo probar $\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0$

Question

Demostrar que el límite de la secuencia $x_n = {a^n \over n!}$ es $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$

Dejemos que $\epsilon > 0$ Así que tenemos que probar: $|x_n - a| < \epsilon$

$$\implies\left|{a^n \over n!}- 0\right| < \epsilon$$ $$\implies{a^n \over n!} < \epsilon$$ $$\implies n\log{a} - \log n!< \log\epsilon$$

No sé cómo puedo aislar $n$ en esta desigualdad. Por favor, proporcionadme pistas, para que pueda trabajar la respuesta por mi cuenta. Gracias.

EDITAR:- Creo que mi pregunta no está duplicada porque, las respuestas aquí no contiene $\epsilon$ prueba.

Answer 1

Dejemos que $b\in \Bbb N$ tal que $b>|a|$ Entonces
$$\frac{a^n}{n!}<\frac{b^n}{n!}$$ Para $n\ge b$ tenemos $$|\frac{a^n}{n!}|<|\frac{b^n}{n!}|=\frac{b}{n}\frac{b}{n-1}...\frac{b}{b+1}(\frac{b}{b}\frac{b}{b-1}...\frac{b}{1})\le\frac{b}{n}(\frac{b}{b}\frac{b}{b-1}...\frac{b}{1})$$

Dejemos que $\epsilon>0. $ Para un tamaño suficientemente grande $N\in \Bbb N$ tenemos
$$\frac{1}{n}<(\frac{b}{b}\frac{b}{b-1}...\frac{b}{1})^{-1}*\frac{\epsilon}{b}\text{ , for all }n\ge N$$ $$\Rightarrow|\frac{a^n}{n!}|<\epsilon\text{ , for all }n\ge N$$

Answer 2

Dejemos que \begin{align} c_n = \frac{a^n}{n!} \end{align} entonces observa \begin{align} \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!} \frac{n!}{a^n} = \frac{a}{n+1}<\epsilon \end{align} cuando $n$ es suficientemente grande, es decir, existe $N$ tal que para todo $n>N$ tenemos \begin{align} c_{n+1}<\epsilon c_n. \end{align} En particular, se deduce que \begin{align} c_{N+k}< \epsilon c_{N+k-1}<\epsilon^k c_N \rightarrow 0 \end{align} como $k\rightarrow \infty$ .

Answer 3

Un enfoque alternativo, que no está entre las respuestas en el duplicado vinculado (y no es un $\epsilon-\delta$ prueba, pero sigue siendo útil para otros):

Aunque la mayoría de los textos y cursos asignan su problema antes de introducir la prueba de la razón para la convergencia de las series, es perfectamente válido deducir que su límite es cero utilizando la prueba de la razón.

Definir $x_n=\frac{a^n}{n!}$ . Entonces $x_{n+1}/x_n=\frac{a}{n+1}$ que, obviamente, tiende a $0$ como $n\to\infty$ . Por la prueba de la proporción, la serie $\sum_{n=1}^\infty x_n$ converge. Por lo tanto, $\lim_{n\to\infty}x_n=0$ .