Integral doble que implica la derivada de la función delta de Dirac

Question

Consideremos la integral doble \begin{equation} I=\int^\infty_{-\infty}dx\int^\infty_{-\infty}dy f(x)\left[\frac{\partial}{\partial x}\delta(x-y)\right]g(y) \end{equation} No estoy seguro de cuál de las dos siguientes formas de calcularlo es la correcta:

1. $I=\int^\infty_{-\infty}dx\int^\infty_{-\infty}dy f(x)\left[\frac{\partial}{\partial x}\delta(x-y)\right]g(y)=\int^\infty_{-\infty}dx\int^\infty_{-\infty}dy f(x)\frac{\partial}{\partial x}\left[\delta(x-y)g(y)\right]$ $=\int^\infty_{-\infty}dx f(x)\frac{\partial}{\partial x}\left[\int^\infty_{-\infty}dy\delta(x-y)g(y)\right]=\int^\infty_{-\infty}dx f(x)\frac{\partial}{\partial x}g(x)$ .
2. Utilizando la relación $\frac{\partial}{\partial x}\delta(x-y)=-\frac{\partial}{\partial y}\delta(x-y)$ e integrando por partes, entonces $I=\int^\infty_{-\infty}dxf(x)\int^\infty_{-\infty}dy \left[-\frac{\partial}{\partial y}\delta(x-y)\right]g(y)$ $=\int^\infty_{-\infty}dxf(x) \left[-\delta(x-y)g(y)\right]|^{y=\infty}_{y=-\infty}-\int^\infty_{-\infty}dxf(x)\int^\infty_{-\infty}dy \left[-\frac{\partial}{\partial y}g(y)\right]\delta(x-y)$ $= \left[-f(y)g(y)\right]|^{y=\infty}_{y=-\infty}+\int^\infty_{-\infty}dxf(x)\frac{\partial}{\partial x}g(x)$ .

Vemos que el método 2 da un término límite adicional en comparación con el resultado del método 1.

Answer 1

Vamos a discutir el objeto en el puesto original que se denota por

$$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x)\frac{\partial \delta(x-y)}{\partial x}g(y)\,dy\,dx\tag1$$

Vemos la presencia de la Delta de Dirac $\delta$ que aparece en esta expresión. Sin embargo, la Delta de Dirac no es una función. Más bien, es una Funciones generalizadas , también conocido como Distribución .

Las distribuciones son lineales Funcionales que mapean funciones de prueba en el espacio $C_C^\infty$ (funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto) en números. Para la Delta de Dirac, la definición funcional viene dada por

$$\langle \delta_a, f\rangle =f(a) $$

donde $f\in C_C^\infty$ .

Ahora, la notación integral interior que has utilizado en $(1)$ es sólo una notación. El objeto denotado por esa integral interior es el funcional lineal

$$\underbrace{\int_{-\infty}^\infty \frac{\partial \delta(x-y)}{\partial x}g(y)\,dy}_{\text{Notation only}}\equiv \frac{d}{dx}\langle \delta_x,g\rangle =g'(x)$$

donde $f\in C_C^\infty$ y $g\in C_C^\infty$ . Por lo tanto, encontramos que

$$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty f(x)\frac{d}{dx}\left(\langle \delta_x,g\rangle\right)\,dx&=\int_{-\infty}^\infty f(x)g'(x)\,dx\tag2 \end{align}$$

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DERIVACIÓN ALTERNATIVA

La derivada distributiva de la Delta de Dirac (el doblete unitario), denotada $\delta_a'$ se define como

$$\langle \delta_a,f\rangle=-\langle \delta_a,f'\rangle =-f'(a)$$

para cualquier función de prueba $f\in C_C^\infty$ .

Podríamos haber interpretado el objeto en $(1)$ para significar

$$\int_{-\infty}^\infty g(y) \langle \delta_y',f \rangle\,dy$$

para ambos $f$ y $g$ en $C_C^\infty$ .

Entonces, en este caso, tenemos

$$\int_{-\infty}^\infty g(y) \langle \delta_y',f \rangle\,dy=-\int_{-\infty}^\infty g(y) f'(y)\,dy \tag3$$

con lo que la integración de la integral en el lado derecho de $(3)$ por partes con $u=g(y)$ y $v=f(y)$ encontramos que

$$-\int_{-\infty}^\infty g(y) f'(y)\,dy=-\left.\left(f(y)g(y)\right)\right|_{-\infty}^\infty+\int_{-\infty}^\infty f(y)g'(y)\,dy\tag4$$

En la medida en que $f$ y $g$ tienen un soporte compacto, se desvanecen para $|x|>L$ para algunos $L$ y por tanto el primer término del lado derecho de $(4)$ es idéntico $0$ . Por lo tanto, sustituyendo la variable ficticia de integración $y$ con $x$ encontramos que

$$\int_{-\infty}^\infty g(y) \langle \delta_y',f \rangle\,dy=\int_{-\infty}^\infty f(x)g'(x)\,dx$$

que coincide con el resultado de $(2)$ .

Answer 2

La delta de Dirac y sus derivadas sólo se comportan bien con funciones (& distribuciones) en $C_C^\infty$ y estos satisfacen $$\lim_{y\to\pm\infty}f(y)=\lim_{y\to\pm\infty}g(y)=0,$$ así que $$\left.[-\delta(x-y)g(y)]\right|_{y=-\infty}^{y=\infty}=0,\,\left.[-f(y)g(y)]\right|_{y=-\infty}^{y=\infty}=0.$$