¿Son intercambiables, o complementarias, la(s) estructura(s) modelo de los complejos de cadena y la estructura triangulada?

Question

Soy algo nuevo en la teoría de la homotopía y el álgebra homológica, así que pido disculpas si esta es una pregunta estúpida.

Me pregunto si la estructura triangulada de la categoría $\mathrm{Ch}(\mathsf{A})$ de complejos de cadenas en una categoría abeliana $\mathsf{A}$ puede ser sustituido por completo por una elección de Estructura del modelo Quillen en $\mathrm{Ch}(\mathsf{A})$ y/o sus subcategorías pertinentes (complejos acotados arriba/abajo, etc.).

Por ejemplo, supongamos que sólo conozco la teoría abstracta de la homotopía (categorías modelo de Quillen, etc.) y las estructuras modelo de los complejos de cadenas de gavillas. ¿Sería capaz de calcular la cohomología de gavillas y los funtores derivados habituales utilizando sólo esos datos? ¿O sigue siendo necesario conocer los triángulos distinguidos?

Answer 1

Los triángulos distinguidos están determinados de forma única por la estructura del modelo, son precisamente las secuencias de cofibras de homotopía.

Además, la estructura triangulada también está determinada de forma única por la estructura del modelo: la categoría de homotopía de una categoría del modelo estable es una categoría triangulada.

Dado que cualquier ejemplo práctico de una categoría triangulada es inducido por una categoría modelo estable (un contraejemplo es un artículo en Inventiones, por cierto), no hay ninguna razón real para utilizar categorías trianguladas; Son un remanente de la época en la que aún no se disponía de todas las poderosas herramientas categoriales de modelos descubiertas en los últimos 20 años.