Integración por partes, gardient y laplaciano

Question

He visto la siguiente declaración:

Si D es una variedad geométrica sin límites en $R^{d}$ entonces

$ \int_{D} \nabla (f) . \nabla(g) \mathrm{d}x= - \int_{D} f . \Delta(g) \mathrm{d}x$

para $f, g \in H(D) $ .

Evidentemente, en la integral se produce una integración por partes, pero no he podido captarla del todo. Puede alguien explicarlo por favor :)

Gracias por adelantado.

Answer 1

Esto es más fundamental que la integración por partes - de hecho, la estrategia es pensar en cómo se demuestra que la integración por partes funciona. En el caso de una variable, la integración por partes se obtiene integrando la regla del producto:

$$\frac{d}{dx}(f \cdot g) = \frac{df}{dx} \cdot g + f \cdot \frac{dg}{dx}$$

y utilizando el teorema fundamental del cálculo para simplificar el lado izquierdo. Su fórmula se demuestra de la misma manera: se empieza con alguna versión de la regla del producto, se integra y se utiliza el teorema de Stokes (el $d$ -contraparte dimensional del teorema fundamental del cálculo) para simplificar. La versión de la regla del producto que necesitamos es:

$$\text{div}(f \nabla g) = \nabla f \cdot \nabla g + f \Delta g$$

Ahora sólo hay que integrar todo sobre $D$ . La integral de $\text{div}(f \nabla g)$ en $D$ es igual a la integral de $f \nabla g$ sobre el límite de $D$ por el teorema de Stokes, por lo que esta integral es $0$ desde $D$ no tiene límites.