He hecho pruebas por inducción sobre $n$ para la desigualdad del triángulo : $\left \| x+y \right \|_{e}\leq \left \| x \right \|_{e}+\left \| y \right \|_{e}$ donde $\left \| x \right \|_{e}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$ para $x\in \mathbb{R}^{n}$ . ¿Es esa prueba también válida para la desigualdad del triángulo para $\left \| x \right \|=\sqrt{\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}^{2}}$ donde $x\in \ell^2, \ell^2=\left\{{x\in\mathbb{R}^{\infty}}:\left \|x\right\|^{2}<\infty\right\}$ ? Tal vez debería escribir esa prueba, pero no creo que la prueba de inducción pueda ser también válida en caso de espacios infinitos.
$\left \| x+y \right \|_{e}\leq \left \| x \right \|_{e}+\left \| y \right \|_{e}$
$\sum_{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})^{2}\leq \sum_{i=1}^{n}(x_{i})^{2}+\sum_{i=1}^{n}(y_{i})^{2}+2\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i})^{2}\sum_{i=1}^{n}(y_{i})^{2}}$
$\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i})^{2}\sum_{i=1}^{n}(y_{i})^{2}}$
esto es cierto cuando lo cierto es que :
$\sum_{i=1}^{n}\left |x_{i}y_{i}\right |\leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i})^{2}\sum_{i=1}^{n}(y_{i})^{2}}$
La desigualdad anterior es cierta para $n=1$ y suponemos que es cierto para $n$ .
Para $n+1$ obtenemos : $\sum_{i=1}^{n}\left |x_{i}y_{i}\right |+\left |x_{n+1}y_{n+1}\right |\leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i})^{2}\sum_{i=1}^{n}(y_{i})^{2}+x_{n+1}^{2}\sum_{i=1}^{n}(y_{i})^{2}+y_{n+1}^{2}\sum_{i=1}^{n}(x_{i})^{2}+x_{n+1}^{2}y_{n+1}^{2}}$
utilizando el supuesto de inducción obtenemos :
$\sum_{i=1}^{n}\left |x_{i}y_{i}\right |+\left |x_{n+1}y_{n+1}\right |\leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i})^{2}\sum_{i=1}^{n}(y_{i})^{2}}+\left |x_{n+1}y_{n+1}\right |\leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i})^{2}\sum_{i=1}^{n}(y_{i})^{2}+x_{n+1}^{2}\sum_{i=1}^{n}(y_{i})^{2}+y_{n+1}^{2}\sum_{i=1}^{n}(x_{i})^{2}+x_{n+1}^{2}y_{n+1}^{2}}$
ahora tomamos el cubo de ambos lados y aniquilamos lo que podamos, en el resultado obtenemos que 0=<(...+...)^2 por lo que la desigualdad se mantiene.
Entonces, ¿esta prueba es válida para los espacios infinitos?
