Así que estaba repasando (más bien reaprendiendo porque soy pésimo) la desigualdad de Chebyshev usando este documento . En concreto, me refiero al ejemplo $7$ en la página $3$ que reproduzco a continuación.
Pregunta
Una moneda se pesa de manera que la probabilidad de que caiga en cara es $0.2$ . Supongamos que se lanza la moneda $20$ tiempos. Utilizando la desigualdad de Chebyshev, encuentre un límite para la probabilidad de que caiga en la cabeza al menos $16$ tiempos.
Respuesta
\begin{align} P(X \geq 16) & = P(0 \leq X \leq 16) \\[5 mm] & = P(-8 \leq X \leq 16) \\[5 mm] & = P(|X - 4| \geq 12) \\[5 mm] & \leq \frac {Var(X)} {12^2} \\[5 mm] & = \frac {(20)(0.2)(0.8)} {144} \\[5 mm] & = \frac 1 {45} \end{align}
Entiendo que si nos saltamos el primer salto de $P(X \geq 16)$ a $P(|X - 4| \geq 12)$ porque, como se sugiere en el documento, $X \geq 0$ . Sin embargo, lo que no entiendo es cómo tiene sentido la primera igualdad. En concreto, ¿cómo $P(X \geq 16)$ igual $P(0 \leq X \leq 16)$ ? Además, ¿cómo $P(-8 \leq X \leq 16)$ igual $P(|X - 4| \geq 12)$ ?
Sé que la respuesta es correcta, pero no puedo evitar sentir que la prueba no es del todo correcta desde el punto de vista matemático. Cualquiera que pueda explicar por qué la primera $3$ la igualdad tiene sentido, por favor, dígalo.
