Una diagonal $\overline{uv}$ en polígono simple $P$ se llama corta si la distancia de $u$ a $v$ es de 2 en $P$ (dos segmentos entre ellos). Demuestra o refuta que todo polígono simple tiene una diagonal corta.
Siempre tengo un problema con las pruebas así, es difícil demostrar cosas obvias, y muy a menudo es muy engañoso, lo que parece obvio para mí en realidad no puede ser verdad en algún caso extremo.
Si tienes alguna idea sobre la prueba, por favor, compártela con nosotros. Gracias.
Tres vértices conscutivos cualesquiera $ABC$ forman una diagonal de longitud $2$ . Si un polígono no tiene una diagonal corta, entonces $AC$ se encuentra fuera (si el polígono es una región cerrada), y el otro lado de la línea desde el exterior debe ser el interior, por lo tanto el ángulo interior en $B$ es $\geq 180^\circ$ . Si $ABC=180^\circ$ puis $B$ está en una arista y no es un vértice. Lo mismo se aplica a todos los demás ángulos, por lo que un polígono sin lados cortos debe tener todos los ángulos interiores $>180^\circ$ . Pero la suma de los ángulos interiores de un polígono es $180(n-2)<180n$ .
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