¿Qué situaciones de la física clásica son no deterministas?

Question

En el libro de Sean Carroll "The Big Picture", afirma ( capítulo 4, página 35 ) :

La mecánica clásica, el sistema de ecuaciones estudiado por Newton y Laplace, no es perfectamente determinista. Hay ejemplos de casos en los que no se puede predecir un resultado único a partir del estado actual del sistema. Esto no molesta a la mayoría de la gente, ya que estos casos son extremadamente raros: son esencialmente infinitamente improbables entre el conjunto de todas las cosas posibles que un sistema podría estar haciendo. Son artificiales y es divertido pensar en ellos, pero no tienen gran importancia para lo que ocurre en el desordenado mundo que nos rodea.

¿Cuáles son algunas de estas situaciones a las que se refiere?

Mi primera conjetura fue algo así como el equivalente conceptual de una pelota sentada exactamente en la cima de una colina y preguntar en qué dirección rodará. Pero eso no parece correcto: sería un caso en el que la solución "verdadera" es que la pelota no rodara en absoluto, mientras que en realidad siempre habrá pequeñas perturbaciones que hagan que la pelota ruede en alguna dirección. No creo que sea esto a lo que se refiere Carroll. Parece sugerir que el "resultado matemático verdadero y exacto" no está determinado de forma única para ciertos sistemas clásicos.

He oído que los teoremas de unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales no suelen aplicarse a las ecuaciones no lineales, y me pregunto si esto puede tener algo que ver. Se agradecería una aclaración y ejemplos.

Answer 1

Hay dos casos famosos en la mecánica clásica que no son deterministas.

La primera, y más famosa, es la Cúpula de Norton, que corresponde a un sistema con una fuerza de la forma

$$F = \sqrt{r} $$

Hay más detalles en el Artículo de Wikipedia (se suele describir como el resultado de una fuerza de reacción de una superficie con una forma determinada), pero la idea básica es que la derivada de la fuerza no está definida en $r = 0$ ya que

$$(\sqrt{r})' = \frac{1}{2\sqrt{r}}$$

Debido a esto, no hay garantía de que la ecuación $\ddot{r} = \sqrt{r}$ tiene una solución única (y de hecho no la tiene), porque no se Lipschitz continuo .

Hay mucha información sobre la Cúpula de Norton, tanto aquí como en Internet, así que aquí está el ejemplo más interesante, aunque más patológico, el Space Invader.

El invasor del espacio es una partícula que se somete a una aceleración ilimitada en un tiempo finito, de modo que alcanza el "infinito" al cabo de un tiempo. La forma exacta de la fuerza no importa, pero por ejemplo se podría elegir

$$F = \tan(t)$$

En estos casos, la partícula se irá al infinito a $t = \pi/2$ y, después de ese tiempo, dejar de existir. Como este sistema es simétrico en el tiempo, también es posible considerar el caso de una partícula que originalmente no existe y viene del infinito, o incluso hacer ambas cosas (la restricción de la fuerza a intervalos de tiempo específicos servirá para asegurar esos resultados).

Otro ejemplo de este comportamiento son los Singularidades sin colisión de Painlevé . El ejemplo más famoso es un problema gravitacional de 5 cuerpos en el que una de las partículas también irá al infinito en un tiempo finito, simplemente tomando prestada la energía de dos sistemas de 2 cuerpos. En cuanto a las partículas puntuales, la energía potencial es ilimitada desde abajo (ya que es $E \propto -1/r$ ), es posible tener una energía cinética infinita manteniendo la conservación de la energía, haciendo que los sistemas de 2 cuerpos en ella colapsen.

Para un tratamiento general de la cuestión del determinismo en la física clásica, también puede consultar este artículo de Earman por ejemplo.