Subgrupos de grupos abelianos finitos

Question

Estoy interesado en encontrar todos los subgrupos (hasta el isomorfismo) de un grupo abeliano finito $A$ .

Sé lo siguiente:

-- Un grupo abeliano finito $A$ puede representarse como un producto directo de grupos cíclicos, $A_1, A_2, A_3, ...$ .

-- El producto directo de subgrupos de un conjunto de grupos es siempre un subgrupo del producto directo de los grupos.

-- Cada uno de los grupos cíclicos $A_1, A_2, A_3, ...$ tendrá un único subgrupo para cada divisor de su orden.

Para empezar a buscar subgrupos de $A$ Por lo tanto, puedo:

-- Escriba todos los subgrupos de cada uno de $A_1, A_2, A_3, ...$

-- Formar todos los posibles productos directos de estos subgrupos

Soy consciente de que este método no encontrará necesariamente todos los subgrupos de $A$ . (Por ejemplo, si $A = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ entonces tiene un subgrupo $ \{(0, 0), (1, 1) \}$ que no es un producto directo de subgrupos de $\mathbb{Z}_2$ .)

Sin embargo, mi pregunta es la siguiente: ¿encontrará el método anterior representantes de todos los clases de isomorfismo de subgrupos de $A$ ? Si la respuesta es negativa, ¿puede proporcionar un contraejemplo? En caso afirmativo, ¿puede aportar una prueba?

Answer 1

Lo primero que haría es reducir a abelianos $p$ -grupos: Si $A = G_1 \times \cdots \times G_r$ donde cada $G_i$ es un $p_i$ -Sylow subgrupo de $A$ entonces todo subgrupo $B$ de $A$ es un producto de subgrupos $B_i$ de $G_i$ 's. (de hecho $B_i$ será el $p_i$ -Sylow subgrupo de $B$ .)

Por lo tanto, asuma $A$ es un abeliano $p$ -grupo, digamos $A=\prod_{i=1}^k (\mathbb{Z}/p^{e_i} \mathbb{Z})^{r_i}$ . En este caso, claramente cada $i$ puede aportar hasta $r_i$ factores directos de orden que dividen $p^{e_i}$ . Creo que es sencillo, aunque tedioso, demostrar que no pueden darse otros subgrupos. (No he escrito los detalles, así que hay que comprobarlo...)

Así que creo que la respuesta a tu pregunta es: SÍ

Answer 2

Birkhoff, Garrett; Subgrupos de Grupos Abelianos. Proc. London Math. Soc. S2-38 no. 1, 385.