Grado del mapa obtenido por la intersección de las tangentes a la curva proyectiva compleja con la línea fija

Question

Dejemos que $X \subset \mathbb{C}P^2$ sea una curva proyectiva suave, y para cada $p \in X$ , dejemos que $T_p$ denota la línea tangente a $X$ en $p$ .

Para cualquier línea $L \subset \mathbb{C}P^2$ en el plano, hay un mapa $X \to L$ que envía $p \in X$ al único punto de intersección $T_p \cap L \in L$ .

¿Cómo varía el grado topológico de este mapa con $L$ ?

Answer 1

Para cualquier línea $L \subset \mathbb{C}P^2$ en el plano, hay un mapa $X \to L$ que envía $p \in X$ al único punto de intersección $T_p \cap L \in L$ .

Hay un pequeño problema con su descripción. Si $L$ es a su vez la línea tangente en algún $P$ en $X$ entonces no hay tal punto único. Para cada $Q$ en $L$ habrá un cierto número de líneas tangentes $T_R(X)$ en los puntos $R$ en $X$ distinto de $P$ a través de $Q$ . Habrá una fórmula si $P$ en $X$ es "bastante general" para este número (algo así como "clase de curva $-$ cantidad fija"), básicamente tratando de arreglar cuántas veces se supone que debemos contar $P$ y $T_P$ en el locus polar. Sin embargo, esto también irá mal si $P$ en $X$ es más complicado (digamos un punto de flexión, o un punto en una bitangente, o algo peor).

El problema cuando $L = T_P(X)$ que señalo arriba es una forma de que el grado del mapa $X \to L$ puede saltar hacia abajo para obtener un $L$ pero ciertamente no garantizo que sea la única manera.

Answer 2

El mapa tangente $f$ tiene un espacio de alcance natural $(\mathbb{CP}^2)^*$ el $\mathbb{CP}^2$ de líneas en el original $\mathbb{CP}^2$ . El grado de la curva de imagen de $f$ es $d(d-1)$ donde $d$ es el grado de la curva original. Cuando se pide el punto de interacción con una línea fija $L$ , está considerando el mapeo de $$(\mathbb{CP}^2)^* \to L$$ definido por la intersección. Según la discusión, este mapeo no está definido en el punto $\{L\}$ de $(\mathbb{CP}^2)^*$ correspondiente a $L$ mismo. Sin embargo, se convierte en un mapa bien definido $$g: B \to L$$ de la explosión $B$ de $(\mathbb{CP}^2)^*$ en el punto $\{L\}$ . Así que el grado de la composición $g \circ f$ puede efectivamente cambiar si $\{L\}$ es a imagen y semejanza de $f$ . Baja según la multiplicidad de intersección de la imagen de $f$ con el $\mathbb{CP}^1$ en $B$ que se colapsa a $\{L\}$ en $(\mathbb{CP}^2)^*$ .

Answer 3

No lo hace (genéricamente). El grado se llama clase de la curva; es el grado de la curva dual.