¿Argumento sobre por qué las funciones de correlación de espín en el modelo de Ising decaen exponencialmente con una longitud de correlación?

Question

Estoy leyendo Teoría cuántica de campos en sistemas electrónicos fuertemente correlacionados, Nagaosa .

Consideremos el modelo Ising 1D, $$H=J_z\sum_i S^z_iS^z_{i+1}.$$ en la página 3, dice

El stae de groud es doblemente degenerado porque el Hamiltoniano es invariante bajo la transformación $S^i_z \rightarrow -S^i_z$ , realizado en todos los sitios $i$ . Llamando a estos dos estados básicos $A$ y $B$ y suponiendo que el sistema del lado derecho está en el estado $A$ y en el lado izquierdo en el estado $B$ , entonces en algún lugar de allí debe existir un límite entre la región $A$ y la región $B$ . Este límite se denomina "kink" o solitón. Porque a temperatura finita esta excitación se produce con una densidad finita, la función de correlación de espín $F(r) =\langle S^z_iS^z_{i+r}\rangle$ decaerá exponencialmente con una longitud de correlación $\xi$ .

Sé cómo calcular directamente la función de correlación, pero me pregunto cómo se hace aquí el argumento del decaimiento exponencial de la función de correlación y cómo entenderlo.

¡¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!!

Answer 1

Permítanme escribir el Hamiltoniano $$H = -J \sum_i S_i^z S_{i+1}^z.$$ Esta elección evitará algunas señales molestas (e irrelevantes).

Una forma de formular con precisión la afirmación del PO es la siguiente.

Considere las variables $\delta_i=S_i^zS_{i+1}^z$ . Desde $\delta_i=1$ cuando los giros en $i$ y $i+1$ estar de acuerdo y $\delta_i=-1$ cuando los giros en $i$ y $i+1$ no están de acuerdo, se pueden identificar con las torceduras en su pregunta (es decir, hay una torcedura entre $i$ y $i+1$ cuando $\delta_i=-1$ ).

Introducción de las variables $\delta_i=S_i^zS_{i+1}^z$ el hamiltoniano se convierte en $$H = J^z \sum_i \delta_i.$$ Se deduce que las variables aleatorias $\delta_i$ son independientes e idénticamente distribuidos. Se puede calcular fácilmente su expectativa: ya que $$P(\delta_i = 1) = \frac{e^{\beta J^z}}{e^{\beta J^z} + e^{-\beta J^z}},$$ uno tiene $$\langle \delta_i \rangle = \frac{e^{\beta J^z} - e^{-\beta J^z}}{e^{\beta J^z} + e^{-\beta J^z}} = \tanh(\beta J^z).$$ Por último, señalar que $S_i^zS_{i+r}^z = \delta_i\delta_{i+1}\cdots\delta_{i+r-1}$ obtenemos $$\langle{S_i^zS_{i+r}^z}\rangle = \langle\delta_i\delta_{i+1}\cdots\delta_{i+r-1}\rangle = \langle \delta_i \rangle^r = (\tanh(\beta J^z))^r.$$

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En palabras, el hecho de que las torceduras proliferen en el sistema (en cada $i$ , hay una probabilidad positiva de que haya un giro, por lo que habrá una densidad positiva de ellos en el sistema) impide el ordenamiento de los espines.