Este es un ejemplo de un libro que estoy leyendo. El autor afirma que hay dos maneras de ver que la biyección $f : (-1,1) \rightarrow \mathbb{R}$ definido por $f(x) = \frac{x}{1-x^2}$ es un homeomorfismo. La más sencilla es observar que tanto $f$ y su inversa son funciones continuas, según los principios básicos del cálculo. La segunda forma es observar que $f$ lleva elementos de la base a elementos de la base y viceversa, donde $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$ están dotados de la topología de orden.
¿Cómo se demuestra eso? ¿Qué quiere decir con "viceversa", que la función inversa $f^{-1}$ ¿lleva un elemento base a un elemento base? He intentado muchas cosas, pero no he podido resolverlo. Por ejemplo, he intentado demostrar que $f((a,b)) = (f(a),f(b))$ pero he tenido dificultades para demostrarlo.
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Bien, tengo algunas preguntas de seguimiento relacionadas. La prueba parece basarse en la siguiente afirmación:
Dejemos que $(X, \tau_X)$ y $(Y,\tau_Y)$ sean espacios topológicos generados por las bases $\mathcal{B}$ y $\mathcal{C}$ respectivamente. Si $f : X \rightarrow Y$ es una biyección tal que $f(B) \in \mathcal{C}$ y $f^{-1}(C) \in \mathbb{B}$ para todos $B \in \mathcal{B}$ y $C \in \mathcal{C}$ entonces $f$ es un homeomorfismo.
¿Esto es correcto?
Mi siguiente pregunta es,
Si la función $g$ es una biyección que preserva el orden entre los espacios topográficos ordenados $X$ y $Y$ , lo hará $g$ ¿mapear siempre los intervalos abiertos a los intervalos abiertos? ¿Tenemos algún tipo de teorema de valor intermedio generalizado para mapas entre espacios ordenados generales?
