En cuanto a una prueba de que $T(M\times N) \cong TM\times TN$

Question

Quiero preguntar sobre la respuesta en este enlace:

Paquete tangente del colector de productos

¿Cómo es la identificación $T_{(x,y)}(M\times N)=T_xM\oplus T_yN$ utilizado en (*) ?

Y por escrito $T(M\times N)$ y $TM\oplus TN$ de esta manera como conjuntos (líneas 4-6), ¿también utilizamos ese $T_xM=R^m$ y $T_yN=R^n$ ?

¿Por qué es $\phi$ ¿un difeomorfismo? Y la última conclusión es que ${\phi}^{\sim}$ ¿un difeomorfo es una especie de teorema?

Muchas gracias

Answer 1

Tal vez sea mejor pensar en ello de esta manera: a partir de la definición de haz tangente tenemos $$T(M\times N) = \{(z,u): z\in M\times N\text{ and } u\in T_z(M\times N)\}.$$ Ahora, claramente $z\in M\times N$ puede descomponerse en $z=(x,y)$ donde $x\in M$ y $y\in N$ . Pero, ¿cómo podemos descomponer $u\in T_z(M\times N)$ en vectores de los espacios tangentes de $M$ y $N$ ? Aquí es donde entra la suposición (): ya que $T_{(x,y)}(M\times N)\cong T_xM\oplus T_yN$ podemos decir $u=(v,w)$ donde $v\in T_xM$ y $w\in T_yM$ . Por lo tanto, el haz tangente de la variedad del producto se puede reescribir como $$T(M\times N) = \{(x,y,v,w): x\in M, y\in N, v\in T_xM,\text{ and } w\in T_yN\}.$$

Y por escrito $T(M\times N)$ y $TM\oplus TN$ de esta manera como conjuntos (líneas 4-6), ¿también utilizamos ese $T_xM=R^m$ y $T_yN=R^n$ ?

En el texto de la respuesta enlazada, sí. Es como se puede decir que los espacios tangentes del producto colector $T_z(M\times N)$ puede identificarse con $\mathbb{R}^{m+n}$ . No es necesario este hecho (todavía) en la forma en que he escrito los conjuntos.

¿Por qué es $\phi$ ¿un difeomorfismo? Y la última conclusión es que $\tilde{\phi}$ ¿un difeomorfismo es una especie de teorema?

No me sorprende que este paso haya sido confuso, porque esta era la parte más imprecisa de la respuesta vinculada. El objetivo aquí es mostrar que el "mapa de conmutación" que pone los conjuntos $T(M\times N)$ y $T(M)\times T(M)$ en la biyección es en realidad un difeomorfismo con respecto a su estructura de colector.

Cambiemos un poco la notación y consideremos el mapa $F: U\times V\times\mathbb{R}^{m+n} \to (U\times \mathbb{R}^m)\times (V\times \mathbb{R}^n)$ (donde $U\subset \mathbb{R}^m$ y $V\subset \mathbb{R}^n$ son abiertos) definidos como $$(x,y,v,w) \mapsto (x,v,y,w).$$ Esto no es más que un mapa lineal invertible definido en algunos subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, y por tanto un difeomorfismo en el sentido euclidiano (es decir, es una biyección suave de conjuntos abiertos con inversa suave). Pero no dejes que la elección de las variables $x,y,v,w$ te engañe estos son elementos del espacio euclidiano por el momento. Todavía no estamos en el colector.

Para obtener un mapa definido (localmente) en la variedad $T(M\times N)$ tenemos que ir a través de los gráficos de coordenadas. Podemos tomar un gráfico de la vecindad de $(x,y,u,v)\in T(M\times N)$ que nos lleva a $U\times V\times \mathbb{R}^{n+m}$ , donde $U$ y $V$ están abiertos como en el caso anterior. Llame a este $\Phi$ . Entonces podemos aplicar $F$ para cambiar las coordenadas, por lo que estamos en el producto cartesiano de $U\times\mathbb{R}^m$ y $V\times \mathbb{R}^n$ . Pero estos ahora parecen el producto de las imágenes de los barrios de la carta de $TM$ y $TN$ que denotamos $\phi$ y $\psi$ respectivamente. Así que podemos recorrer el mapa $\phi^{-1}\times\psi^{-1}$ para llegar desde $(U\times\mathbb{R}^m) \times (V\times \mathbb{R}^n)$ a $TM\times TN$ . En total, nuestro mapa se define localmente como $((\phi^{-1}\times\psi^{-1})\circ F\circ \Phi)$ . Este mapa es un difeomorfismo porque $F$ es un difeomorfismo. Haciendo este procedimiento en cada gráfico de coordenadas de $T(M\times N)$ podemos definir un mapa $\tilde F:T(M\times N)\to TM\times TN$ definida en toda la variedad (la única preocupación es cuando dos cartas de coordenadas de $T(M\times N)$ superposición, ya que esto podría dar lugar a una ambigüedad de definición, pero los mapas de transición entre gráficos que son difeomorfismos garantizarán que no haya una mala definición).

Ahora, tenemos un mapa $\tilde F$ que es una biyección y, por construcción, un difeomorfismo local. Podemos convertirlo en un difeomorfismo global por el teorema de la función inversa para las variedades: en efecto, como $\tilde F$ es una biyección existe una inversa $(\tilde F)^{-1}: TM\times TN\to T(M\times N)$ . Si $\tilde F$ es un difeomorfismo local en $p$ entonces el teorema de la función inversa dice $(\tilde F)^{-1}$ es diferenciable en $F(p)$ . Como cada punto $q\in TM\times TN$ puede escribirse como $q=F(p)$ para algunos $p$ vemos que $(\tilde F)^{-1}$ es diferenciable en todas partes y el resultado se deduce. (Nótese también que este argumento se aplica a cualquier difeomorfismo local biyectivo de las variedades, así que sí, se trata de un teorema).

Algunos comentarios de despedida: la respuesta vinculada tiene un pequeño error en la primera línea cuando se asume $M$ y $N$ vivir en $\mathbb{R}^m$ y $\mathbb{R}^n$ respectivamente. Dado que posteriormente se identifican los espacios tangentes de $M$ y $N$ con estos mismos conjuntos, supongo que se refieren para $M$ para ser $m$ -y lo mismo para $N$ para ser $n$ -dimensional. Pero generalmente no se puede incrustar un $m$ -en una variedad de dimensiones en $\mathbb{R}^m$ (véase el Teorema de incrustación de Whitney ).

Además, esta es una manera generalmente desordenada de analizar estos objetos. Una vez que hayas aprendido un poco sobre los paquetes de vectores (supongo que aún no los has visto), deberías intentar entender este problema desde la perspectiva de los paquetes.