Encuentre $n$ -enésimo número de esta secuencia

Question

Tengo un problema de la vida real en el que necesito encontrar el $n^\text{th}$ número en la secuencia siguiente:

1  --->   0
2  --->   2
3  --->   6
4  --->   20
5  --->   70
6  --->   252
7  --->   924
8  --->   3432
9  --->   12870

Más allá de que el lado derecho sea divisible por $n$ No puedo ver el patrón o la fórmula para pasar de $n$ a la derecha.

Puedo calcular el valor del lado derecho dado un entero de $n$ para poder verificar si alguien, por ejemplo, sabe cuál es el valor de $n=10$ debería ser.

Answer 1

La OEIS suele ser útil: Coeficientes binomiales centrales

Answer 2

Este es probablemente el coeficiente binomial central $$\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}.$$ Por otro lado, también puede ser un polinomio, a saber $$f(x)=\frac{79x^8}{2880}−\frac{4583x^7}{5040}+\frac{3739x^6}{288} −\frac{7409x^5}{72}+\frac{1413631x^4}{2880}$$

$$−\frac{1028681x^3}{720} +\frac{117655x^2}{48} −\frac{62509x}{28}+810,$$ que tiene valores $f(1),f(2),\ldots ,f(9)$ como en el caso anterior. Aquí $f(10)=45480$ mientras que $\binom{20}{10}=48620$ .