Ejercicio de espacio Hausdorff, localmente conectado y localmente compacto

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de Hausdorff, localmente conectado y localmente compacto. Sea $U$ sea un subconjunto conexo de $X$ y que $x,y \in U$ . Demostrar que existe un subconjunto compacto conectado $T$ de $U$ tal que $T$ contiene tanto $x,y$ .

Bueno, intenté usar la regularidad y la compacidad local pero no llegué muy lejos. ¿Alguna idea?

Answer 1

Esta es una idea más elemental: Para $x\in U$ dejar $V_x$ sea el conjunto de todos los $z\in U$ tal que existe un subconjunto compacto y conectado de $U$ que contiene $x$ y $z$ . Utilice las hipótesis para demostrar que $V_x$ es tanto abierto como cerrado en $U$ Por lo tanto, es todo $U$ .

Answer 2

En mi respuesta aquí He dado un lema que caracteriza la conectividad en términos de cadenas en cubiertas (no necesariamente abiertas).

Lo aplicamos a $U$ como elegimos para cada $x$ en $U$ un vecindario compacto y conectado que es un subconjunto de $U$ lo que puede hacerse eligiendo primero un vecindario compacto dentro de $U$ (usando Hausdorffness y compacidad local) y luego una vecindad conectada dentro de eso (usando conectividad local) y tomamos el cierre (todavía conectado) de eso.

Ahora, por cada $x$ y $y$ en $U$ tenemos una cadena (como se define en esa respuesta) que conecta $x$ a $y$ y tomamos la unión de la cadena para obtener un conjunto compacto y conexo (debido a las intersecciones no vacías) que contiene $x$ y $y$ .

Este ejercicio es una aplicación típica de la caracterización en cadena de la conectividad.