Convergencia de la integral impropia: $\int_{e^2}^\infty {dx\over x\log\log x}$

Question

Prueba la convergencia de la siguiente integral $$\int_{e^2}^\infty {dx\over x\log\log x}$$

Entiendo que el problema es sólo en $\infty$ ¿Cómo proceder?

Answer 1

Una pista: Su función $\frac{1}{x\log\log x}$ va a $0$ más lentamente que $\frac{1}{x\log x}$ . Puede encontrar cómodamente $\int_{e^2}^M \frac{dx}{x\log x}$ explícitamente, y mostrar que (tranquilamente) explota como $M\to \infty$ .

Answer 2

La integral converge si la serie

$$\sum_{n>e^2}\frac1{n\log\log n}\;\;\text{converges}$$

Aplicando la prueba de condensación a esta serie, obtenemos que converge si

$$\sum_{n>e^2}\frac{2^n}{2^n\log\log2^n}=\sum_{n>e^2}\frac1{\log n+\log\log2}$$

y esta última serie diverge...

Answer 3

Para $x>100$ $$\frac{dx}{x\ln\ln x} \ge \frac{dx}{x\ln x\ln\ln x}=\frac{d\ln x}{\ln x\ln \ln x}=\frac{d \ln \ln x}{\ln \ln x}=d \ln \ln \ln x,$$ que implica la divergencia, porque los límites de integración son $[\ln \ln \ln 100,\infty)$ .