Conjunto localmente discreto y globalmente discreto en $\mathbb{C}$

Question

Mi objetivo es construir una función completa con un conjunto prescrito de ceros en $\mathbb{C}$ . La pregunta es qué conjunto debemos tomar ? Ciertamente no podemos tomar $\{1,1/2,1/3,\cdots\}$ . ¿Podemos tomar $\{1, 1+1/2, 1+1/2+1/3,\cdots\}$ (No lo sé)?

Entonces pensé que deberíamos tomar un subconjunto discreto de $\mathbb{C}$ . Aquí he causado algún problema. ¿Discreto en qué sentido? ¿Local o globalmente?

Un subconjunto $S\subseteq \mathbb{C}$ se dice que es localmente discreto si dado $x\in S$ existe una bola abierta $B_x$ tal que $S\cap B_x=\{x\}$ .

Un conjunto $S$ se dice que es globalmente discreto si existe $\epsilon>0$ tal que $B(s,\epsilon)\cap S=\{s\}$ por cada $s\in S$ . En otras palabras, podemos poner bolas de radio fijo alrededor de cada punto de $S$ de manera que ninguna bola contenga dos puntos de $S$ .

Pregunta: ¿El conjunto cero de una función entera es localmente discreto o globalmente discreto?

Answer 1

El conjunto de ceros de una función entera suele ser sólo localmente discreto. Por ejemplo, consideremos $f(z)=\sin z^2$ . Esto tiene ceros en $\sqrt{n\pi}$ para todos $n\in\mathbb{Z}$ y estos se acercan cada vez más a medida que $n$ se hace grande.

Sin embargo, lo que sí necesita es que $S$ para que no sólo sea discreto, sino también cerrado; por eso $\{1,1/2,1/3,\cdots\}$ no funciona. En efecto, el conjunto cero de cualquier función continua debe ser cerrado. Un subconjunto cerrado discreto infinito de $\mathbb{C}$ debe ser una secuencia de puntos que van a $\infty$ (por compacidad, si tuvieras infinitos puntos en cualquier conjunto acotado, tendrían que acumularse en algún lugar).

De hecho, un famoso teorema de Weierstrass dice que si $S$ es cualquier subconjunto discreto cerrado de $\mathbb{C}$ entonces existe una función entera que desaparece exactamente en el conjunto $S$ .