La inversa de la suma de dos matrices en *Teoría de la decisión estadística aplicada*.

Question

Estoy siguiendo Teoría de la decisión estadística aplicada [por] Raiffa, Howard. Que puede consultarse en línea aquí .

Un teorema en la página enlazada afirma que si dos matrices $A,B$ son no singulares y de dimensión $r \times r$ Entonces:

$$(A+B)^{-1} = B^{-1}(B^{-1}+A^{-1})A^{-1} = A^{-1}(A^{-1}+B^{-1})B^{-1} $$

¿Por qué es así?

(bastará con un enlace a una prueba).

Answer 1

$$(A+B)^{-1}=[B(B^{-1}A+I)]^{-1}=[B(B^{-1}+A^{-1})A]^{-1}$$

Ahora usa eso $(XY)^{-1}=X^{-1}Y^{-1}$ para conseguir

$$[B(B^{-1}+A^{-1})A]^{-1}=A^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}B^{-1}$$

Obsérvese que falta un $-1$ en su fórmula.

Para obtener la otra ecuación, comience con

$$(A+B)^{-1}=[A(I+A^{-1}B)]^{-1}=[A(B^{-1}+A^{-1})B]^{-1}$$ y luego

$$[A(B^{-1}+A^{-1})B]^{-1}=B^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}$$