Para cualquier número entero $n$ , $n^2$ es congruente con $0$ o $1$ modulo $3$

Question

He intentado demostrarlo por su contrapositivo.

Por lo tanto, ahora estoy demostrando que no hay ningún número entero cuyo cuadrado sea congruente con $2 \pmod 3$ .

Considere el caso $n^2 \equiv 2 \pmod 3$

$ n^2 = 3k +2$

Estoy atascado para mostrar $\sqrt{3k+2}$ no es un número entero. ¿Puede alguien darme alguna pista?

Answer 1

Observa: $[0]_3^2=[0\times 0]_3=[0]_3$ y $[\pm 1]^2_3=[(\pm 1)\times (\pm 1)]_3=[1]_3$ ya que $\{-1,0,1\}$ es un sistema completo de residuos módulo tres, todas las clases de equivalencia $[a]_3$ módulo tres, y ninguno de los cuales cuadra con $[2]_3$ .

Answer 2

El pequeño teorema de Fermat dice que $a^2\cong 1\pmod3$ , si $a\not\cong0\pmod 3$ .

Pero esto se puede hacer a mano. Podemos comprobar que $0^2\cong0\pmod 3$ , $1^2\cong1\pmod 3$ y $2^2\cong4\cong1 \pmod3$ . Sólo hay que comprobar tres casos.