Cómo mostrar la función $f(x,y)=(x^2+y^2)\sin(1/(x^2+y^2)^{1/2})$ es diferenciable en todas partes?

Question

Cómo demostrar que la función: $$f(x,y)= \begin{cases} (x^2+y^2)\sin\frac{1}{(x^2+y^2)^{1/2}}& (x,y)\neq(0,0) \\ 0& (x,y)= (0,0) \end{cases}$$ es diferenciable en todas partes?

He intentado demostrarlo con la definición de diferenciabilidad pero no sé cómo anular el $x^2$ y $y^2$ .

Answer 1

Es evidente que las derivadas parciales existen y son continuas en cualquier punto $\;(x,y)\neq(0,0)\;$ y por lo tanto la función es diferenciable allí. En el origen las derivadas parciales también existen y son iguales a cero, pero no son continuas, así que nos guiamos por la definición:

$$\frac{f(y,k)-f(0,0)-f'_x(0,0)-f'_y(0,0)}{\sqrt{h^2+k^2}}=\frac{\left(h^2+k^2\right)\sin\frac1{\sqrt{h^2+k^2}}}{\sqrt{h^2+k^2}}=$$

$$=\sqrt{h^2+k^2}\sin\frac1{\sqrt{h^2+k^2}}\xrightarrow[(h,k)\to(0,0)]{}0$$

y así...