¿Cómo sabemos que el mapa es $w^{*}$ -¿Continuo?

Question

Estoy leyendo un artículo de David Blecher, que contiene lo siguiente:

" Si $T: Y \to Z$ es un mapa de módulo isométrico suryente entre $W^{*}$ -módulos sobre $M$ entonces $T$ es unitaria. También, $T$ es un $w^{*}$ -y los predecesores únicos de $Y$ y $Z$ son completamente isomórficos a través del mapa de módulos $T_{*}$ ."

No tengo ningún problema con la parte unitaria. Además, sé que si $T$ es $w^{*}$ -continuo entonces es un $w^{*}$ -homeomorfismo. Lo que no entiendo es por qué sabemos $T$ es $w^{*}$ -¿Continuo?

Como esta afirmación se da sin pruebas, me hace pensar que se trata de un hecho bien conocido. Agradeceré cualquier explicación o referencia a una prueba de esto.

Answer 1

Es un homeomorfismo débil* porque el predual de un módulo W* es único. Si $T$ no fuera un homeomorfismo débil*, entonces podría utilizarse para transferir la topología débil* en $Y$ a una nueva topología débil* diferente en $Z$ . Pero $Z$ sólo tiene un predual, y por tanto sólo tiene una topología débil*.

Para un poco más de detalles sobre por qué el predual es único, véase el Teorema 2.6 de este documento .