Distribución de probabilidad interesante de una variable aleatoria de tipo mixto $Y$

Question

Dejemos que $X$ y $U$ sean variables aleatorias independientes con:

$$P(X=k)=\frac1{N+1} \text{ for } k=0,1,2,\ldots,N$$

y $U$ que tenga una uniformidad $(0,1)$ distribución.

Dejemos que $Y=X+U$ .

Encontrar la función de distribución de $Y$ .

He intentado resolver el problema condicionando el valor de $X$ y haciendo uso del teorema de la probabilidad total.

Tengo $P(Y\le y)=y-\frac N2$ . ¿Es correcto? Por favor, ayuda.

Answer 1

Supongamos que $k\in\{0,1,2,\ldots, N\}$ y $0\le a<b\le 1$ . Entonces

$$ \begin{align} & \Pr(a<X+Y<b) = \Pr(X=k\ \&\ a<Y<b) = \frac 1 {N+1}\cdot(b-a) \\[10pt] = {} & \frac{\text{length of the interval }(a,b)}{\text{length of the interval} (0,N+1)} \\[10pt] = {} & \frac{\text{length of the interval }(k+a,k+b)}{\text{length of the interval} (0,N+1)} \end{align} $$ y eso es lo que la probabilidad sería si $X+Y$ tiene una distribución uniforme continua en $(0,N+1)$ .

Ahora sólo hay que demostrar que la distribución está determinada por las probabilidades asignadas a los intervalos situados entre dos enteros consecutivos.

Answer 2

Es una distribución uniforme en $[0, N+1]$ . Sólo toma $k\leq a<b\leq k+1$ y calcular $P(Y\in [a,b))$ .

Answer 3

Dejemos que $Z$ tienen una distribución uniforme sobre $[0,N+1)$ .

Definir $X':=\lfloor Z\rfloor$ y $U':=Z-\lfloor Z\rfloor$ .

No es realmente difícil demostrar que $X'\simeq X$ y $U'\simeq U$ donde $\simeq$ significa tener la misma distribución.

Para $u\in[0,1)$ y $k\in\{0,1,\dots,N\}$ encontramos: $$\Pr\left(U'\leq u\wedge X'=k\right)=\Pr\left(k\leq Z\leq k+u\right)=\frac{u}{N+1}=\Pr\left(U'\leq u\right)\left(X'=k\right)$$ demostrando que $U'$ y $X'$ son independientes, al igual que $U$ y $X$ son independientes.

Entonces $(X,U)\simeq(X',U')$ y en consecuencia $Y=X+Y\simeq X'+Y'=Z$ .

Probado está ahora que $Y$ tiene una distribución uniforme sobre $[0,N+1)$ .