¿Cómo puedo mostrar la convergencia o divergencia de la secuencia $a_{n}=b^n/2^n$ donde $n \in N$ y $b>1$ .

Question

¿Cómo puedo mostrar la convergencia o divergencia de la secuencia $a_{n}=b^n/2^n$ donde $n \in N$ y $b>1$ .

Intenté usar la prueba de proporción

$a_{n+1}/a_{n} = [{b^{n+1}/2^{n+1}}]*[{2^n/b^n}] = b/2$

No puedo llegar a ninguna conclusión porque se da $b>1$

Answer 1

Desde $$\lim_{n \rightarrow \infty} (a)^n = \infty ~~~\text{(where a > 1)}$$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} (a)^n = 1 ~~~\text{(where a = 1)}$$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} (a)^n = 0 ~~~\text{(where 0 < a < 1)}$$

No hay una respuesta única.

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n= \begin{cases} \infty~ \text{(diverging)} ~~\text{if} b>2 \\ 1 ~~~~~~\text{if}~ b=1 \\ 0 ~\text{(converging)} ~\text{if} ~~ 1<b <2 \end{cases} $$