¿Por qué la secuencia $s_n = i^n$ ¿diferir?

Question

Actualmente estoy haciendo un primer curso de análisis real con Baby Rudin. Estoy tratando de probar que la secuencia $\{s_n\}$ con $s_n = i^n$ no converge, pero no estoy seguro de que mi argumento sea correcto. Estaría agradecido si alguien pudiera comprobar si hay algún error flagrante en la prueba. Esto es lo que tengo hasta ahora:

Tomemos la métrica de la distancia, definida para $p, q \in \mathbb{C}$ , para ser $d(p, q) = |p - q|$ .

Supongamos, en aras de la contradicción, que existe algún $s \in \mathbb{C}$ tal que $s_n \rightarrow s$ . Entonces, por la definición de convergencia, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $d(s_n, s) < 1$ y $n \geq N$ . Por el principio de buen orden, existe un El más pequeño tal $N$ . Llámalo $M$ .

Ahora, tenemos $$ |s - s_{M-1}| \geq 1 $$ y $$ |s - s_{M}| < 1. $$

Pero $$ s_{M-1} = \frac{s_{M}}{i} = -i s_{M} = i^3 s_M = s_{M+3}, $$ lo que implica que $$ |s - s_{M+3}| \geq 1. $$ Esto contradice nuestra hipótesis de que $|s - s_n| < 1$ para todos $n \geq M$ , por lo que la secuencia $\{s_n\}$ con $s_n = i^n$ no puede converger.

Answer 1

Esta prueba no es válida. En particular, observe que si $M$ es el número natural más pequeño, entonces $S_{M-1}$ no está definido.

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Mi inclinación sería mostrar que $s_n$ no es Cauchy (si Rudin ha cubierto las secuencias de Cauchy). Si no ha cubierto las secuencias de Cauchy, podemos hacer una prueba por contradicción como sigue:

Supongamos que $s_n$ converge a $s$ . Entonces, hay un $N$ tal que para todo $n \geq N$ $$|s - s_n| < 1$$ En particular, $$|s_{n+2} - s_n| \leq |s - s_{n+2}| + |s - s_n| < 2$$ pero, por cálculo directo, $|s_{n+2} - s_n| = 2$ para todos $n$ .

Answer 2

A mí me parece bien.

Personalmente, probablemente elegiría utilizar la desigualdad del triángulo en $|s_N - s_{N+2}| = 2$ (no podemos tener ambos $|s-s_N|<1$ y $|s-s_{N+2}|<1$ ) en lugar de utilizar el buen orden de los naturales para obtener $M$ . Pero eso es sólo un gusto personal.

Answer 3

Nota que $|i^{n+1} - i^n| =\sqrt 2.$ Si $i^n$ fuera Cauchy, tendríamos $|i^{n+1} - i^n| \to 0,$ contradicción.