Determinar si una integral impropia converge o diverge.

Question

$$\int_{1}^{\infty}\dfrac{\sqrt{x^7+2}}{x^4}\text{dx}$$

Me dijeron que dejara $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x^4}$ y $g(x)=\dfrac{\sqrt{x^7+2}}{x^4}$ entonces encuentra el límite como $x$ se acerca a $\infty$ de $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ y $\int_{1}^{\infty}f(x)\text{dx}$ .

Encontré que $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} =0$ . Según la prueba de comparación de límites, $0<L<\infty$ ya que el límite es $0$ esta integral será divergente. ¿Es esto correcto?

Además, ¿cómo se determina $f(x)$ y $g(x)$ ¿utilizar la prueba de comparación de límites?

Answer 1

$\displaystyle{x \gg 1\,,\quad\mbox{integrand}\ \sim x^{-1/2}\,,\quad\mbox{integral}\ \sim x^{1/2}:\ \mbox{Diverges !!!.}}$

Answer 2

Por la prueba que has mencionado, la integral divergirá.

Piénsalo un segundo y tendrá sentido. Con ese límite has demostrado que $f$ "crece más lentamente" que g. Descubriendo que la integral de $f$ diverge significa que $f$ crece "demasiado rápido" para converger.

Entonces, también g crece demasiado rápido y la integral divergirá. Ese es el significado de la prueba de comparación de límites.

Bueno, $g$ probablemente siempre será la función de interés para integrar y $f$ suele ser una función más sencilla de integrar y que crece más o menos rápido que $g$ .

Mirando $g$ , se puede ver que como $x \to \infty$ la función se comporta como $x^{-1/2}$ . Así que su intuición debería decir que $\int g$ diverge, y debe elegir $f$ tal que $\int f$ también diverge (fácilmente demostrable) y crece más lentamente que $g$ para que pueda utilizar la prueba de comparación de límites.

Answer 3

Lo que te han dicho no tiene sentido. Lo que yo haría en tu lugar es buscar una función más sencilla que esté acotada por el numerador, digamos $f(x)=x^{3.5}$ , ya que $x \rightarrow \infty$ y otro que lo limita, digamos $f(x)=x^{3.5}+2$ . Ahora, con $g(x) = x^4$ deberías ser capaz de realizar la integral resultante para ambos $f(x)$ y demostrar que converge o diverge.