Condiciones de Carleman

Question

Comparé la condición de Carleman con el radio de convergencia de Hadamard para las series de Taylor. Dado que el MGF se puede reexpresar como una serie de Taylor (que se puede extender a una franja en el plano complejo bajo la hipótesis de que el radio es $>0$ ), ¿por qué una condición específica adaptada a un problema probabilístico es tan buena como una condición general proporcionada por el análisis complejo? ¿Hay algún significado histórico que haga que la condición de Carleman sea importante?

http://en.wikipedia.org/wiki/Carleman 's_condición

http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Hadamard_theorem

(También estoy leyendo de Durrett donde ni siquiera se menciona el radio de Hadamard, y sin embargo se da una condición aún más restrictiva que la de Carleman).

Para ser claros, el razonamiento implícito en el caso de las series de Taylor es el siguiente Supongamos dos distribuciones $\mu$ y $\nu$ tienen los mismos momentos para los cuales el MGF existe y es finito en alguna vecindad de $0$ . Entonces, por el teorema de la identidad compleja, tienen la misma MGF, por lo tanto la misma función característica, por lo tanto son iguales.

En el comentario observo que en realidad me he equivocado y la condición de Durrett es equivalente a que el radio de Hadamard sea finito, y la condición con el nombre de Carleman es un poco más débil. Así que modifico mis preguntas a esto: ¿Hay alguna razón de peso para hacer algo distinto a la prueba analítica compleja para ver que la suposición más restrictiva de Durrett de que $limsup \mu_{2k}^{1/2k}<\infty$ ¿es suficiente? ¿En qué punto de la prueba más difícil de Carleman implica la determinabilidad del problema del momento, la configuración específica y las propiedades específicas del MGF le permiten superar el enfoque analítico complejo?

Answer 1

La condición de Carleman no es específico a la teoría de la probabilidad, y forma parte del análisis complejo.

Para la demostración del teorema de Carleman, véase el capítulo 1 de El problema de los momentos por J. A. Shohat y J. D. Tamarkin. El quid de la cuestión es que la serie de Carleman $\sum\limits_nm_n^{-1/n}$ diverge si y sólo si la integral $\int_1^\infty r^{-2}\log T(r)\,\mathrm dr$ diverge, donde $T(r)=\sup\limits_nr^n/m_n$ y que la divergencia de esta integral implica que alguna función holomorfa específica que mide la diferencia entre dos soluciones del problema de momentos, es realmente cero. Así, la condición de Carleman implica la unicidad de las soluciones del problema de momentos.

Un ejemplo de secuencia de momentos $(m_n)$ tal que la condición de Carleman se cumple pero el radio de convergencia de la serie de Taylor es cero es $m_n\sim(n\log n)^n$ . Entonces el teorema de Carleman muestra que el problema de los momentos tiene una solución única mientras que el enfoque basado en lo que tú llamas el radio de Hadamard falla.