Dejemos que ${f_n}$ una secuencia acotada es $L^2(\mathbb{R})$ tal que $\int f_n \phi dx \rightarrow0$ para cada $\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R})$ . Quiero demostrar que $f_n \rightharpoonup 0$ .
La secuencia está acotada por lo que existe $f \in L^2$ y una subsecuencia $f_{n_k}$ de $f_n$ de manera que $f_{n_k} \rightharpoonup f$ . Si elegimos $\phi \in C^\infty_c$ entonces $\int f_{n_k} \phi dx \rightarrow \int f \phi dx$ (y $\int f_{n_k} \phi dx \rightarrow 0$ ) por lo que $\int f \phi dx=0$ para cada $\phi \in C^\infty_c$ lo que implica $f=0$ a.e.
Esto demuestra que toda subsecuencia convergente de $f_n$ convergen a $0$ . ¿Cómo puedo concluir?
