¿Cómo se calcula el error estándar anual de un modelo de regresión cuando el propio modelo se basa en observaciones mensuales?

Question

Supongamos que se hace una regresión de los rendimientos mensuales de las acciones y que el modelo de regresión tiene un error estándar en torno a dichos rendimientos mensuales del 2%. A continuación, usted pronostica el rendimiento anual de las acciones del año siguiente basándose en los rendimientos mensuales regresivos. ¿Cuál es el error estándar en torno a este rendimiento anual de las acciones?

Algunos pueden pensar que este no es un buen ejemplo. No se obsesione con cuál es la forma adecuada de modelar los rendimientos de las acciones. Esto no tiene nada que ver con la pregunta. La pregunta es simplemente averiguar el cálculo para convertir un error estándar mensual en uno anual.

Answer 1

La regla general es $\sqrt N$ . Así, a partir de los datos diarios, la volatilidad anual se estimaría como sd(v)* sqrt(255) .

Por lo tanto, para su ejemplo, multiplique el error estimado por la raíz cuadrada de doce.

Editar: En respuesta al comentario de seguimiento, aquí hay un ejemplo completo trabajado con datos reales. El anual La volatilidad es de alrededor del 16%, lo que parece correcto. Se podría modificar esto para volatilidades móviles, o datos semanales, o ....

R> library(tseries)
Loading required package: quadprog
Loading required package: zoo

    ‘tseries’ version: 0.10-22

    ‘tseries’ is a package for time series analysis and computational finance.

    See ‘library(help="tseries")’ for details.

R> SP500 <- get.hist.quote("^GSPC", "2000-01-01", "2011-01-29", quote="Close", compression="m")
trying URL 'http://chart.yahoo.com/table.csv?s=^GSPC&a=0&b=01&c=2000&d=0&e=29&f=2011&g=m&q=q&y=0&z=^GSPC&x=.csv'
Content type 'text/csv' length unknown
opened URL
.......
downloaded 8162 bytes

time series starts 2000-01-03
time series ends   2011-01-03
R> head(SP500)
             Close
2000-01-03 1394.46
2000-02-01 1366.42
2000-03-01 1498.58
2000-04-03 1452.43
2000-05-01 1420.60
2000-06-01 1454.60
R> sd(diff(log(SP500)))
    Close 
0.0478781 
R> sd(diff(log(SP500)))*sqrt(12)
   Close 
0.165855 
R>

Answer 2

Aunque esta pregunta ya ha sido respondida, una forma útil de recordarla para situaciones más generales es la ley de las expectativas iteradas. Tenga en cuenta que la independencia para la predicción no se mantiene incluso si el "proceso verdadero" es independiente. Esto se debe a que las estimaciones no son independientes, a menos que se tenga $Z^{T}Z$ y $Z_{new}Z_{new}^{T}$ que ambos sean diagonales ("nuevos" para las predicciones)

Así que si dejas que $\hat{Y}_{ti}$ denotan los valores mensuales estimados en el año $t$ por mes $i$ y $\hat{X}_{t}$ denotan el valor anual estimado, tienes:

$$\hat{X}_{t}=\sum_{i=1}^{12}\hat{Y}_{ti}$$

$$Var(\hat{X}_{t})=E[Var(\hat{X}_{t}|\hat{Y}_{t,1},\dots,\hat{Y}_{t,12})]+Var[E(\hat{X}_{t}|\hat{Y}_{t,1},\dots,\hat{Y}_{t,12})]$$

(no estoy seguro de si debe ser un promedio o un total, si es un promedio, entonces divida mi resultado final para el error estándar por $12$ y dividir la varianza por $144$ ) Si conectamos una cosa con la otra, obtenemos:

$$Var(\hat{X}_{t})=E[Var(\sum_{i=1}^{12}\hat{Y}_{ti}|\hat{Y}_{t,1},\dots,\hat{Y}_{t,12})]+Var[E(\sum_{i=1}^{12}\hat{Y}_{ti}|\hat{Y}_{t,1},\dots,\hat{Y}_{t,12})]$$ $$=Var[\sum_{i=1}^{12}\hat{Y}_{ti}]=\sum_{i=1}^{12}\sum_{j=1}^{12}Cov(\hat{Y}_{tj},\hat{Y}_{ti})$$

Ahora bien, cuando se condiciona a algo, es una constante, por lo que el término de varianza "interna" desaparece.

Ahora tiene un modelo de regresión para $Y_{ti}$ por lo que sabemos que

$$\begin{array}{l l} \hat{Y}_{ti}=Z_{ti,new}^{T}\hat{\beta} & Cov(\hat{Y}_{ti},\hat{Y}_{sj})=s^{2}Z_{ti,new}^{T}(Z^{T}Z)^{-1}Z_{sj,new} \\ \hat{\beta}=(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}Y & s^{2}=\frac{1}{n-dim(\hat{\beta})}(Y-Z\hat{\beta})^{T}(Y-Z\hat{\beta}) \end{array}$$

Donde $Z$ y $Y$ son la matriz y el vector que usaste para ajustar la regresión (estoy asumiendo una regresión OLS aquí), $dim(\hat{\beta})$ es el número de betas que ha ajustado (incluyendo la intercepción). $Z_{ti,new}$ es un nuevo conjunto de coeficientes de regresión que se utilizará en la predicción.

Tenga en cuenta que para la predicción, sus estimaciones de $Y$ son no es independiente aunque los "valores verdaderos" lo sean. Así que la raíz cuadrada de $N$ regla no se aplica, a menos que su $Z$ son ortogonales, por lo que $(Z^{T}Z)^{-1}=I$ y $Z_{ti}^{T}Z_{sj}=0$ cuando $s\neq t$ o $i\neq j$ .

Introduciendo esto en la fórmula de la varianza para $\hat{X}_{t}$ nos encontramos con que:

$$Var(\hat{X}_{t})=\sum_{i=1}^{12}\sum_{j=1}^{12}s^{2}Z_{ti,new}^{T}(Z^{T}Z)^{-1}Z_{tj,new}=s^{2}J^{T}Z_{t,new}(Z^{T}Z)^{-1}Z_{t,new}^{T}J$$

Donde $J$ es una columna de 12 unos, y $Z_{t,new}$ es el doce $Z_{ti}^{T}$ filas para la predicción apiladas unas sobre otras, de dimensión $12\times dim(\hat{\beta})$ .

Pero ten en cuenta que también tenemos el proceso "verdadero" $X_{t}$ se supone que se rige por el modelo de regresión, por lo que volvemos a aplicar la ley de expectativas iteradas, pero condicionando a $\hat{X}_{t}$ esta vez:

$$Var(X_{t})=E[Var(X_{t}|\hat{X}_{t})]+Var[E(X_{t}|\hat{X}_{t})]=E[Var(\sum_{i=1}^{12}Y_{t}|\hat{Y}_{ti})]+Var[\hat{X}_{t}]$$ $$=E[\sum_{i=1}^{12}Var(Y_{ti})]+Var[\hat{X}_{t}]=12s^{2}+s^{2}J^{T}Z_{t,new}(Z^{T}Z)^{-1}Z_{t,new}^{T}J$$

Probablemente debería poner aprox porque esto es un "plug-in" de $s^{2}$ para la "verdadera varianza" $\sigma^{2}$ - Sin embargo, no conozco a mucha gente que no haga esto. También se justifica por motivos bayesianos como la forma adecuada de tener en cuenta la incertidumbre en la estimación $\sigma^{2}$ para el modelo normal, además de ser un estimador insesgado por motivos frecuentistas. Así que el error estándar anual debería ser realmente

$$s\sqrt{12+J^{T}Z_{t,new}(Z^{T}Z)^{-1}Z_{t,new}^{T}J}$$

Entonces, ¿qué $\sqrt{12}$ regla está haciendo esencialmente aquí es ignorar la incertidumbre en la estimación de las betas. Si ya se estiman las betas bastante bien, entonces esto hará poca diferencia en la $\sqrt{12}$ regla - probablemente algo como $\sqrt{13}$ . Si las betas no se estiman bien, o se está cerca de la multicolinealidad, el término extra puede ser importante.hb**

texto

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