M es una matriz real antisimétrica, prueba que exp(M) es una isometría.

Question

M es una matriz anti-simétrica real de nxn. Necesito demostrar que exp(M) es una isometría.

¿Podría alguien darme alguna pista? No tengo ningún enfoque para esta pregunta. Gracias

Answer 1

Boceto de una línea: $$(e^M u)^t(e^M v)=u^t[(e^M)^te^M]v = u^t[e^{M^t+M}]v=u^tv$$ Donde he utilizado la propiedad de que si $M$ es antisimétrica entonces $M^t+M=0$.

Answer 2

Presumiblemente estamos tratando aquí con matrices que operan en un espacio vectorial $V = \Bbb R^N$ o $V = \Bbb C^N$, donde $N$ es el tamaño de $M$. Entonces, ya sea que el producto interno $\langle \cdot, \cdot \rangle$ sea euclidiano o hermitiano respectivamente, tenemos que, para $x, y \in V$,

$\langle e^M x, e^M y \rangle = \langle (e^M)^T e^M x, y \rangle, \tag{1}$

ya que $M$ es real. Además,

$(e^M)^T = (\sum_0^\infty \dfrac{M^j}{j!})^T = \sum_0^\infty \dfrac{(M^T)^j}{j!} = e^{M^T} \tag {2}$

por la convergencia de la serie en (2) y el hecho de que $(M^j)^T = (M^T)^j$ para todos los enteros $j \ge 0$ implica $(p(M))^T = p(M^T)$ para polinomios $p(x) . Así que podemos escribir

$\langle (e^M)^T e^M x, y \rangle = \langle e^{M^T} e^M x, y \rangle, \tag{3}$

y como $M$ es antisimétrico, es decir, $M^T = -M$, (3) se convierte en

$\langle (e^M)^T e^M x, y \rangle = \langle e^{-M} e^M x, y \rangle. \tag{4}$

Dado que $M$ conmuta con $-M$, $[M, -M] = 0$, la identidad

$e^{-M} e^M = e^{-M + M} = e^0 = I \tag{5}$

se cumple. Aquí usamos el hecho de que matrices que conmutan $A, B$, obedeciendo como lo hacen $[A, B] = 0$, también satisfacen $e^A e^B = e^{A + B}$; una discusión detallada de esto está disponible en mi respuesta a esta pregunta. En cualquier caso, combinando (1), (4) y (5) encontramos

$\langle e^M x, e^M y \rangle = \langle Ix, y \rangle = \langle x, y \rangle, \tag{6}$

lo cual muestra que $e^M$ conserva los productos internos. Dado que $\Vert x \Vert = \langle x, x \rangle^{\frac{1}{2}}$, el resultado deseado se sigue inmediatamente. QED.

Moraleja: Cuando $M = -M$, $e^M$ es ortogonal.

Espero que esto ayude. Saludos,

y como siempre,

¡Fiat Lux!.