Hay siempre un número primo entre el$p_n^2$$p_{n+1}^2$?

Question

La siguiente tabla indica que existe un número primo p entre los cuadrados de dos números primos consecutivos.

$$ \displaystyle \begin{array}{rrrr} \text{n} & p_n^2 & p_{n+1}^2 & \text{p} \\ \hline 1 & 4 & 9 & 7 \\ 2 & 9 & 25 & 23 \\ 3 & 25 & 49 & 47 \\ 4 & 49 & 121 & 113 \\ 5 & 121 & 169 & 167 \\ 6 & 169 & 289 & 283 \\ 7 & 289 & 361 & 359 \\ 8 & 361 & 529 & 523 \\ 9 & 529 & 841 & 839 \\ 10 & 841 & 961 & 953 \end{array} $$

¿Alguien puede probar que para cada número natural $n$ siempre existe un número primo $p$, de tal manera que $p_n^2<p<p_{n+1}^2$ ?

Answer 1

Tal vez. Podemos demostrarlo? La respuesta tiene que ser no. Dado que hay un número infinito de números primos $p_{n+1}-p_n = 2,$ y ya no podemos ahora demostrar que no es una de las principales entre el $n^2$ $(n+2)^2$ para todo n, la respuesta parece clara.

Answer 2

Este es un famoso problema sin resolver llamado de Legendre de la conjetura. 'Obviamente' true, pero muy difícil de probar. En algún sentido es más fuerte que la Hipótesis de Riemann (que sólo 'consigue' $\sqrt x\log x$ en lugar de $2\sqrt x$), por lo que no se espera que se demostró pronto.

Answer 3

Bertrand Postulado (ahora un teorema establece que, para $n > 3$, siempre hay al menos uno de los primos p tales que $n < p < 2n - 2$ (o para todos $n > 1$, $n < p \leq 2n$). Ya que para todos $n > 1$, $2n \leq n^2$, parece que esto es muy probable que sea cierto. Esta conjetura es cierto que subestima el número real de los números primos por un tiro largo. Esta conjetura no ha sido probado, porque no es siempre el caso de que $2p_n^2 < p_{n+1}^2$ y por otros motivos. En definitiva, se está avanzando hacia la consecución de este resultado, que es casi cierto, y es mi creencia de que no va a seguir siendo una cuestión abierta por mucho tiempo.

Ver el artículo de la Wikipedia a continuación: Prueba de Bertrand Postulado

o el artículo de Wolfram Mathworld: Bertrand Postulado (el Teorema de Chebyshev)

Answer 4

Esta pregunta es Brocard de la conjetura. Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Brocard%27s_conjecture.

Answer 5

Sí. Brocard la conjetura es más fuerte: hay 4 números primos en este intervalo. Creo haber demostrado en una publicación disponible en: http://www.scienpress.com/journal_focus.asp?main_id=60&Sub_id=IV&Issue=1263 y para los que me esperan todavía algunos comentarios. Que se entienda que esta prueba se realiza en un artículo de 12 páginas, no voy a explicar aquí. Saludos.