Dificultad conceptual de la transformación de Legendre

Question

Siento que tengo una comprensión bastante confusa de las transformaciones de funciones, por lo que espero que alguien pueda aclararme un poco las cosas. Creo que esto podría ser en parte a hacer con la confusión que rodea cuando estamos pensando en las funciones como lo que son físicamente, y lo que hacen a sus argumentos.

Por ejemplo, dejemos que $x$ sea una coordenada cartesiana, y digamos $f(x)$ es el valor de $f$ en $x$ . En física, estoy pensando en $f$ como una cosa en sí misma, en lugar de una especie de regla sobre qué hacer con el argumento $x$ . Por ejemplo, podríamos definir otro sistema de coordenadas perfectamente bueno mediante $u = x^3$ y luego escribiría $f(u) = u^{1/3}$ manteniendo el símbolo $f$ a pesar de que la expresión real en $f(u)$ es diferente de $f(x)$ .

Es que no entiendo muy bien lo que son fundamentalmente las transformaciones de funciones. Considere algo como el Transformación de Legendre donde podríamos escribir $s = \frac{df}{dx}$ . Entonces decimos que buscamos una función $g$ tal que $g(s) = f(x)$ (Interpreto que esto significa $g(s(x)) = f(x)$ por cierto). Para empezar, no veo realmente por qué estamos llamando a esta función $g$ . En la interpretación de las funciones que he dado anteriormente, siempre que cada punto $x$ tiene un valor único de $f'(x)$ ¿no podríamos argumentar que existe una biyección entre $x$ y $s$ y así $s$ es una coordenada tan buena como $x$ . Entonces, sólo tendríamos que escribir $f(x) = f(s)$ donde nosotros $x$ y $s$ representan el mismo punto físico.

En las cosas que he leído, suele haber un argumento que dice que si traducimos $f$ a lo largo de algún valor fijo $x_0$ entonces podemos tener múltiples valores de $x$ que tienen el mismo valor de $s$ y no podemos saber cuál es cuál, lo que motiva la necesidad de incluir información sobre dónde la línea tangente cruza algún eje. No entiendo muy bien este argumento, pero tampoco veo por qué es necesario. Hemos "fijado $f$ al principio, y están interesados en representar $f$ utilizando su derivada con respecto a $x$ como coordenada, en lugar de $x$ en sí mismo. ¿Por qué nos interesa de repente la función traducida? Y, ¿por qué no es tan sencillo como escribir $f(x) = f(s)$ ¿entendemos que las expresiones reales de estas funciones son diferentes?

Este documento que he encontrado sugiere que mi confusión es el resultado de pensar en $f$ como cantidad física, más que su acción sobre su argumento. Sin embargo, no puedo seguir la discusión en el documento por el momento, y no entiendo de qué otra manera podemos pensar en las funciones en la física.

Siento que hay algunas cosas que se me escapan aquí, y probablemente no estoy apreciando algo clave sobre las transformaciones de funciones en general. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Esta es una buena pregunta, y creo que pone de manifiesto un punto en el que los libros de texto son muy confusos.

En el fondo, una transformación de funciones no es más que un mapa formal de funciones a otras funciones, normalmente invertibles. Por ejemplo, la transformada de Fourier cambia una función del tiempo $f(t)$ a una función de la frecuencia $\tilde{f}(\omega)$ . No son literalmente "la misma" función: no tiene sentido escribir $f(t) = \tilde{f}(\omega)$ por ejemplo. (Pero como la transformación es invertible, se puede pensar en ella como si resaltara información diferente sobre la misma cosa física. Así que supongo que si $f$ y $\tilde{f}$ son "realmente" la misma función es algo que depende de la opinión).

La transformada de Legendre es además confusa porque parece innecesaria. Se lee, por ejemplo, que transforma una función $f(t)$ en una función $g(s)$ , donde $s = df/dt$ . Pero podríamos haberlo hecho perfectamente con un cambio trivial de variables. Podríamos resolver para $t$ en términos de $s$ y luego introducirlo en la expresión para $f(t)$ , para conseguir $f(s) = f(t(s))$ . Los simples cambios de variables como estos no son transformaciones de funciones.

El punto real de la transformada de Legendre es que toma una función que depende simplemente en $t$ y le da un nuevo función que depende de simplemente en $s$ , $$\frac{df}{dt} = s, \quad \frac{dg}{ds} = t.$$ Esto es "sencillo" siempre que ambos $s$ y $t$ son cantidades sencillas que ya conoces. Por el contrario, si usted acaba de hacer un cambio trivial de variables, entonces $$\frac{df}{ds} = \frac{df}{dt} \frac{dt}{ds} = s \frac{dt}{ds}$$ lo cual no es sencillo, ya que $dt/ds$ puede tener un aspecto terrible.

Por ejemplo, el lagrangiano depende de forma muy sencilla de $q$ y $\dot{q}$ por ejemplo, para un problema 1D, $$dL = F \, dq + p \, d\dot{q}$$ donde $F$ es la fuerza generalizada, y $p$ es el momento generalizado. En cambio, el hamiltoniano depende de forma muy sencilla de $q$ y $p$ , $$dH = F \, dq + \dot{q} \, dp.$$ Ambos están relacionados por la transformada de Legendre. Tratando de convertir $H$ en una función de $q$ y $\dot{q}$ o $L$ en una función de $q$ y $p$ Por el contrario, la sustitución directa dejaría un desastre.