Ayúdame a resolver esta relación de recurrencia para una forma cerrada

Question

He hecho todo lo posible para resolver esta relación de recurrencia en una fórmula de forma cerrada para la generalidad pero no he podido. Así que, ¿hay alguien que me ayude a resolver esta relación de recurrencia en una solución de forma cerrada. ¿Puede alguien ayudarme?

$a_n = 3a_{n-1}+2n+4$

$a_1 = 4$

Answer 1

Una pista:

El "Teorema Maestro", como se llama en estos círculos, te dice que la solución es de la forma $$a_n=a\cdot 3^n + b\> n+c$$ con coeficientes $a$ , $b$ , $c$ por determinar.

Answer 2

Un enfoque muy elemental que no requiere funciones generadoras ni conocimiento de la forma general de la solución es "desenvolver" la recurrencia. (Obsérvese que esto sólo es posible con recurrencias de primer orden). $a_0=-\frac23$ la recurrencia da el valor correcto de $a_1$ Hacer esto hace que los cálculos posteriores sean más sencillos, así que lo haré.

$$\begin{align*} a_n&=3a_{n-1}+2n+4\\ &=3\big(3a_{n-2}+2(n-1)+4\big)+2n+4\\ &=3^2a_{n-2}+3\cdot2(n-1)+2n+4(3+1)\\ &=3^2\big(3a_{n-3}+2(n-2)+4\big)+3\cdot2(n-1)+2n+4(3+1)\\ &=3^3a_{n-3}+3^2\cdot2(n-2)+3\cdot2(n-1)+2n+4(3^2+3+1)\\ &\;\vdots\\ &=3^ka_{n-k}+\sum_{i=0}^{k-1}3^i\cdot2(n-i)+4\sum_{i=0}^{k-1}3^i\tag{1}\\ &\;\vdots\\ &=3^na_0+2\sum_{i=0}^{n-1}3^i(n-i)+4\sum_{i=0}^{n-1}3^i\\ &=-2\cdot 3^{n-1}+(2n+4)\sum_{i=0}^{n-1}3^i-2\sum_{i=0}^{n-1}3^ii\\ &=-2\cdot 3^{n-1}+(2n+4)\frac{3^n-1}{3-1}-2\sum_{i=1}^{n-1}3^ii\tag{2}\\ &=-2\cdot 3^{n-1}+(n+2)(3^n-1)-2\sum_{i=1}^{n-1}3^i\sum_{j=1}^i1\\ &=-2\cdot 3^{n-1}+(n+2)(3^n-1)-2\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^i3^i\\ &=-2\cdot 3^{n-1}+(n+2)(3^n-1)-2\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{i=j}^{n-1}3^i\tag{3}\\ &=-2\cdot 3^{n-1}+(n+2)(3^n-1)-2\sum_{j=1}^{n-1}\frac{3^n-3^j}{3-1}\\ &=-2\cdot 3^{n-1}+(n+2)(3^n-1)-\sum_{j=1}^{n-1}\left(3^n-3^j\right)\\ &=-2\cdot 3^{n-1}+(n+2)(3^n-1)-\sum_{j=1}^{n-1}3^n+\sum_{j=1}^{n-1}3^j\\ &=-2\cdot 3^{n-1}+(n+2)(3^n-1)-(n-1)3^n+\frac{3^n-3}{3-1}\\ &=-2\cdot 3^{n-1}+3\cdot3^n-n-2+\frac12\cdot 3^n-\frac32\\ &=\frac{17}6\cdot3^n-n-\frac72\\ &=\frac{17}2\cdot3^{n-1}-n-\frac72\\ &=\frac12\left(17\cdot3^{n-1}-2n-7\right)\;. \end{align*}$$

Paso $(1)$ es el punto en el que decidí que había visto lo suficiente para reconocer el patrón. El largo cálculo después de $(2)$ puede evitarse si ya se conoce una forma cerrada para las sumas de la forma $\sum_{k=1}^mka^k$ Hay una manera fácil de derivar dicha forma cerrada a partir de la forma cerrada de la suma de una serie geométrica finita, utilizando un poco de cálculo. He optado por adoptar un enfoque alternativo que no utiliza el cálculo, pero que requiere ser capaz de invertir el orden de la suma en una suma doble, como he hecho en $(3)$ .

El paso a $(1)$ es un poco de patrón no riguroso, así que hablando con propiedad el resultado final, $$a_n=\frac12\left(17\cdot3^{n-1}-2n-7\right)\;,$$ es sólo una conjetura en este momento, aunque muy sólida, y habría que concluir demostrando que es correcta. Esto implica verificar que da el valor correcto de $a_1$ y satisface la recurrencia utilizada para definir la secuencia.

Answer 3

Consideremos la relación de recurrencia homogénea $a_n=3a_{n-1}$ . La ecuación característica es $x-3=0$ y así $x=3$ es la raíz característica. Por lo tanto, la solución general es $a_n=a3^n$ donde $a$ es una constante. Sea $a_n=bn+c$ donde $b$ y $c$ son constantes. Elegimos una ecuación lineal porque $b_n=2n+4$ así que esto es una suposición adecuada. Sustituyendo esta suposición en nuestra relación de recurrencia original nos da $bn+c=3(b(n-1)+c)+2n+4$ lo que implica que $bn+c=(3b+2)n+(-3b+3c+4)$ . Igualando los coeficientes de estos polinomios obtenemos $b=-1$ y $c={-7\over 2}$ . Así, la solución particular es $a_n=-n-{7\over 2}$ . Combinando la solución general y la solución particular vemos que $a_n=a3^n-n-{7\over 2}$ . Desde $a_1=4$ podemos utilizar este hecho para obtener $a_0=-{2\over 3}$ de la relación de recurrencia original. De ello se desprende que $a={17\over 6}$ y se deduce que $a_n={17\over 6}3^n-n-{7\over 2}={1\over 2}(17\cdot3^{n-1}-2n-7)$ . Podemos comprobar que $a_n$ satisface $a_1=4$ y la relación de recurrencia original, lo que hace. Así, $a_n={1\over 2}(17\cdot3^{n-1}-2n-7)$ .