Tomita-Takesaki frente a Frobenius: ¿dónde está la similitud?

Question

A menudo he oído decir a Alain Connes que el flujo modular de la teoría de Tomita-Takesaki debe considerarse como un análogo de característica cero del endomorfismo de Frobenius.
... ¿puede alguien justificar esta afirmación?

Dado un álgebra de von Neumann $M$ , su flujo modular es un homomorfismo canónicamente definido $$ \mathbf{\Phi}: i\mathbb R\quad\longrightarrow\quad \text{BIM}^\times(M) $$ que, en presencia de un estado (o peso), se eleva a un homomorfismo $i\mathbb R\to Aut(M)$ . Aquí, $\text{BIM}^\times(M)$ denota el 2 grupos de los invertibles $M$ - $M$ -bimódulos. El bimódulo $\mathbf{\Phi}(it)$ es el no conmutativo $L^p$ -espacio para el valor $\frac 1 p=it$ .

---

Dado un anillo $R$ de la característica $p$ , su Frobenius es un homomorfismo canónicamente definido $$ \mathbf{F}:\mathbb N\quad\longrightarrow\quad End(R) $$ tal que $\mathbf{F}(1)$ envía $x$ a $x^p$ . De manera más general, $\mathbf{F}(n)$ envía $x$ a $x^{p^n}$ .

Hasta ahora, la única analogía que puedo ver es que ambos $\mathbf{F}$ y $\mathbf{\Phi}$ son acciones canónicamente definidas...

Answer 1

Una intuición poco técnica (¿ingenua?) proviene directamente de la definición del operador modular y de lo que ocurre si se intenta trasladarlo a campos finitos.

El automorfismo no trivial $z\mapsto\overline{z}$ en $Gal(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ se codifica en un álgebra de von Neumann mediante la existencia de una operación * $(zX)^\ast=\overline{z}X^\ast$ . Cuando $M$ se representa fielmente en un espacio de Hilbert $H$ con vector cíclico y separador $\Omega$ construimos $SX\Omega:=X^\ast\Omega$ entonces $\Delta:=|S|^2$ entonces $\sigma_{t}(X)=\Delta^{it}X\Delta^{-it}$ por lo que el grupo modular codifica $z\mapsto\overline{z}$ en algún sentido.

Dejemos que $n\in\mathbb{N}$ y observe que el automorfismo de Frobenius de $F_{p^n}$ genera $Gal(F_{p^n}/F_p)$ . Tomemos un álgebra asociativa y unital $R$ en $F_{p^n}$ equipado con una biyección $Q:R\to R$ , satisfaciendo $Q(zx)=Fr(z)Q(x)$ para todos $z\in F_{p^n}$ y $x\in R$ . Si $R$ se representa fielmente en un $F_{p^n}$ espacio vectorial $V$ con vector cíclico y separador $\Omega$ entonces obtenemos un mapa $S:V\to V$ , $S x\Omega=Q(x)\Omega$ que tiene la propiedad $$S z\xi=Fr(z)S\xi\quad\hbox{for all}\quad z\in F_{p^n},~\xi\in V.$$ Dado un mapa de este tipo $T$ podemos extraer un $F_{p^n}$ -mapa lineal $T^n$ (el análogo de $T\rightarrow |T|^{2i}$ para un operador antilineal). Establezca $\Delta:=S^n$ . Como $\Omega$ es cíclico y separador y $Q$ es una biyección, $\Delta$ es invertible y podemos formar los mapas $\sigma_{m}(x)=\Delta^{m} x\Delta^{-m}$ para cada $m\in\mathbb{Z}$ . Entonces encontramos que $\sigma_m$ es un $F_{p^n}$ homomorfismo del álgebra y $\sigma_{m_1}\circ\sigma_{m_2}=\sigma_{m_1+m_2}$ . Si $R$ es un campo sobre $F_{p^n}$ entonces tenemos el mapa canónico $Q(x)=x^p$ y $\sigma_m(x)=Fr^{nm}(x)$ . Esto se extiende fácilmente al caso $R=M_n(K)$ para un campo $K$ . No estoy seguro de si un "agradable $Q$ existe para un álgebra de división general.