Cambio de orden de suma en $\sum_{i=0}^n \sum_{j=i}^n a_{j-i}$

Question

Tengo que demostrar que $$\sum_{i=0}^n \sum_{j=i}^n a_{j-i}$$ es igual a $$\sum_{j=0}^n (n+1-j)a_{j}$$ Puedo cambiar el orden de la suma o añadir i a la suma interna: $$\sum_{i=0}^n \sum_{j=i}^n a_{j-i} = \sum_{j=0}^n \sum_{i=0}^j a_{j-i} = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{n-i} a_{j}$$ Pero no sé si lleva a alguna parte

O si voy a reescribir esto como: $$a_{0} + a_{1} + ... + a_{n}$$ $$+ a_{0} + a_{1} + ... + a_{n-1}$$ $$...$$ $$+ a_{0} + a_{1}$$ $$+ a_{0}$$

Y si añadimos columnas en lugar de filas, entonces la suma es $na_{0} + (n-1)a_{1} ... $ etc. Pero esto lleva tiempo y estoy buscando una manera más rápida, tal vez sólo operando en sigma simbol puede conducir a este resultado?

Answer 1

Añadir $i$ a la suma interna Y cambiar el orden de la suma:

$$\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{n-i} a_j = \sum_{j=0}^n \sum_{i=0}^{n-j} a_j = \sum_{j=0}^n (n+1-j)a_j$$

Answer 2

La suma es sólo $\sum n_j a_j$ donde $n_j$ es el número de formas de escribir $j$ como $l-m$ con $l \geq m$ . [Todas las variables entre $0$ y $n$ ]. Hay $n+1-j$ formas de elegir $l \geq j$ y para cada uno de ellos $l$ tenemos el valor único $m=l-j$ .