La intuición detrás $2\Phi(x)-1$

Question

Al utilizar el teorema central del límite para calcular para $n$ Me encuentro con que tengo que usar $2\Phi(x)-1$ para encontrar esto. Sin embargo, no estoy seguro de por qué tengo que usar esto y qué significa y cómo se deriva. Sólo parece ser bastante común como un qpproach a seguir cuando se trata de derivar $n$ ¿Cuál es la explicación detrás de $2\Phi(x)-1$ ?

donde el símbolo $\Phi(x)$ denota la función de distribución acumulativa de una variable normal estándar.

Por ejemplo: Supongamos que una muestra aleatoria de tamaño $n$ debe tomarse de una distribución cuya media es $\mu$ y la desviación estándar es $3$ . Utilice el teorema del límite central para determinar aproximadamente el valor más pequeño de $n$ para el que se cumplirá la siguiente relación: $$Pr(|\bar{X}_n-\mu|<0.3)\ge 0.95$$

Siguiendo el $Z$ distribución: $Z = \frac{\sqrt(n)(\bar{X}_n-\mu)}{\sigma}$ Puedo conseguirlo: $Pr\left(\frac{\sqrt(n)(\bar{X}_n-\mu)}{3}<0.3\right)=Pr(|\bar{X}_n-\mu|<0.1\sqrt{n})\ge 0.95 $

Para el siguiente paso sí: $Pr(|\bar{X}_n-\mu|<0.1\sqrt{n})\approx2\Phi(0.1\sqrt{n})-1\ge 0.95$

Luego se reordena para encontrar $n$ .

Entonces, ¿cuál es la intuición detrás de usar $2\Phi(x)-1$ ?

Answer 1

Para una variable aleatoria normal estándar $Z \sim N(0,1)$ y un número real positivo $\alpha$ , \begin{align} P(|Z| \leq \alpha) &= P(-\alpha \leq Z \leq \alpha)\\ &= \Phi(\alpha) - \Phi(-\alpha)\tag{1}\\ &= \Phi(\alpha) - [1 - \Phi(\alpha)]\tag{2}\\ &= 2\Phi(\alpha) - 1 \tag{3} \end{align} donde casi el único lugar donde cualquier tipo de intuición podría haber sido utilizado es en el reconocimiento de que la simetría de la normal estándar pdf sobre $0$ nos permite reconocer (o intuir) que $\Phi(-\alpha)$ el área bajo el pdf a la izquierda del punto $-\alpha$ debe ser igual a $1-\Phi(\alpha)$ el área bajo el pdf a la derecha del punto $\alpha$ y así $(2)$ se desprende de $(1)$ . En particular, hay que tener en cuenta que las tablas de $\Phi(\cdot)$ demostrar que $\Phi(1.96) = 0.9750$ y así $$P(|Z| \leq 1.96) = 2\times 0.9750 - 1 = 0.95.$$ Dado que el lado derecho de $(3)$ es una función creciente de $\alpha$ , eligiendo $\alpha$ sea mayor que $1.96$ nos dará sin duda una probabilidad más grande que $0.95$ .

A continuación, dada una muestra aleatoria $X = (x_1, x_2, \ldots,x_n)$ de una distribución con media conocida $\mu$ y la desviación estándar conocida $\sigma$ se sabe que la media muestral $\bar{X}$ es una variable aleatoria con media $\mu$ y la desviación estándar $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ y así las genuflexiones en la dirección general del CLT nos permiten afirmar que $$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)} {\sigma} \sim Z \sim N(0,1)$$ o al menos cuando $n$ es "grande".