En coordenadas polares tenemos que encontrar el área encerrada por una determinada función. I
Los dos problemas son $$r=3\sin\left(2\theta\right)$$ y $$r=5\cos\left(3\theta\right)$$
Respuesta
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Bill Cook
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Por lo general, lo que realmente se quiere es una imagen de su dominio cuando se establece una integral doble o triple. A veces se puede "volar a ciegas", pero generalmente es una mala idea.
Consideremos su primera ecuación $r=3\sin(2\theta)$ . Desde que nos dieron $r$ en términos de $\theta$ (es decir, un $r$ ), tiene sentido considerar el orden de integración: $dr\,d\theta$ . Si integramos en términos de $r$ En primer lugar, mantenemos $\theta$ constante.
Imagina $\theta$ tiene algún valor fijo y enviamos un rayo (de ángulo $\theta$ ) desde el origen hacia fuera. Viajamos desde $r=0$ (el origen) a la curva $r=3\sin(2\theta)$ .
Ahora para $r$ para que siga siendo una coordenada polar válida, necesitamos $r \geq 0$ . Observe que $r=3\sin(2\theta) \geq 0$ para $0 \leq \theta \leq \pi/2$ desde $\sin(t) \geq 0$ para $0 \leq t=2\theta \leq \pi$ .
Así, una hoja corresponde a $0 \leq \theta \leq \pi/2$ .
Ahora tenemos nuestros límites: $0 \leq r \leq 3\sin(2\theta)$ y $0 \leq \theta \leq \pi/2$ .
Así que el área de una hoja es $\int_0^{\pi/2}\int_0^{3\sin(2\theta)} 1\cdot r\,dr\,d\theta = (9/8)\pi$ . Así, cuatro pedales tienen una superficie total de $9\pi/2$ . 
