Construir medidas de probabilidad para obtener las distribuciones de probabilidad deseadas de las variables aleatorias.

Question

Aquí hay un problema de un examen que acabo de hacer hace varios días.

Dejemos que $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ sea un espacio de probabilidad.

• Dejemos que $X:\Omega\to\mathbb R$ sea una variable aleatoria con $X>0$ a.s. y $EX=1$ . Definir $$Q(A)=E[X1_A],\ \ \forall A\in\mathcal{F}.$$ Demuestra que $Q$ es una medida de probabilidad sobre $(\Omega, \mathcal{F})$ y $Q\sim P$ es decir $Q<<P$ y $P<<Q$ .

• Supongamos que $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ en $P$ donde $\mu\neq0$ , $\sigma>0$ y $\sigma\neq1$ . Intenta construir una medida de probabilidad sobre $(\Omega, \mathcal{F})$ tal que $X\sim N(0,1)$ en $Q$ .

• Supongamos que $X\sim Poisson(\lambda)$ en $P$ donde $\lambda>0$ y $\lambda\neq1$ . Intenta construir una medida de probabilidad sobre $(\Omega, \mathcal{F})$ tal que $X\sim Poisson(1)$ en $Q$ .

La primera parte es estándar y fácil para mí. Pero las dos partes siguientes me atascaron. Nunca había conocido y pensado esas preguntas. Para la segunda parte, si introducimos $Y=\frac{X-\mu}{\sigma}$ entonces $Y\sim N(0,1)$ en $P$ que es bien conocido. Pero cómo puedo usar esto y la primera parte para construir tal medida de probabilidad $Q$ ? No puedo avanzar en la tercera parte, también.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Para el caso normal. Sea $$ f_P(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}, \quad f_Q(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} $$ sean las pdfs dadas y las deseadas de $X$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Entonces, defina $$\tag{1}\label{1} Q(A) = \mathbb E_P\left[\frac{f_Q(X)}{f_P(X)}I(A)\right]. $$ Aquí el índice $P$ significa que calcularemos la expectativa con respecto a la distribución inicial $P$ de $X$ . En primer lugar, comprueba si el vector de la resistencia es positivo. $Z=\frac{f_Q(X)}{f_P(X)}$ satisface las condiciones de la primera parte descriptiva de la pregunta. Sólo tenemos que comprobar si $\mathbb E_P[Z]=1$ . $$ \mathbb E_P\left[\frac{f_Q(X)}{f_P(X)}\right]=\int\limits_{\mathbb R} \frac{f_Q(x)}{f_P(x)} \cdot f_P(x)\, dx=\int\limits_{\mathbb R} f_Q(x)\, dx=1. $$ Compruebe si $X$ tiene una distribución normal estándar bajo $Q$ . Para cualquier conjunto de Borel $B$ se obtiene de \eqref {1} $$ Q(X\in B) = \mathbb E_P\left[\frac{f_Q(X)}{f_P(X)}I(X\in B)\right]=\int\limits_B \frac{f_Q(x)}{f_P(x)} \cdot f_P(x)\, dx = \int\limits_{B} f_Q(x)\, dx, $$ así que $f_Q(x)$ es efectivamente la pdf (normal estándar) de $X$ bajo la medida de probabilidad $Q$ .

Lo mismo se puede hacer con la v.r. de Poisson. $X$ : $$ Q(A) = \mathbb E_P\left[I(A) \cdot \frac{\frac{1}{\not{X!}}e^{-1}}{\frac{\lambda^X}{\not{X!}}e^{-\lambda}}\right], $$ después de eso $$ Q(X=k) = \mathbb E_P\left[I(X=k) \cdot \frac{e^{\lambda-1}}{\lambda^X}\right] = \frac{e^{\lambda-1}}{\lambda^k} P(X=k) = \frac{e^{\lambda-1}}{\lambda^k}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} = \frac{1}{k!}e^{-1}. $$