La ley de grupo en las curvas elípticas proviene de la observación de las funciones de las superficies geométricas, y de intentar comprender el comportamiento de las intersecciones.
Cuando miramos el anillo de coordenadas de una curva elíptica, tenemos: $$C = y^2 - x^3 - Ax - B$$ $$I = \langle C \rangle$$ $$K[V] = K[x, y] / I$$ Como puedes ver, todos los polinomios que sean múltiplos de la ecuación de la curva también serán equivalentes a la $\bar{0}$ clase en este anillo.
También podemos observar los puntos que desaparecen en este anillo tomando la variedad denotada $V(I) = \{ (a, b) \in K[x, y]: C(a, b) = 0 \}$ . También podemos mirar el campo de la función $K(V) = \{ f / g: f, g \in K[V] \}$ y empezar a preguntarse dónde desaparecen las funciones en este campo. Es decir, para qué puntos se convierten en cero cuando $f(P) = 0$ o el infinito cuando $g(P) = 0$ .
Por el teorema de Bezout, la suma de todos estos ceros (puedes pensar en esto como una multiplicidad de intersección) e infinitos es igual al grado de las curvas, que en nuestro caso $\textrm{deg}(C) = 3$ . Por ejemplo $P = (a, b)$ , entonces la línea $f = x - a$ se cruzará con $C$ en $P$ con una valoración de 1. Mientras que cuando $f$ es una línea tangente a la curva en $P$ entonces puede tener una valoración de 2 o incluso de 3.
No voy a entrar más en los anillos de valoración discreta, pero si te interesa entender más entonces consulta esto archivo sage .
Podemos representar la información de estas curvas mediante un divisor. $$\textrm{div}(x - a) = [(x - a, b)] + [(x - a, -b)] + [\infty] - 3[\infty]$$ Dejemos que $C = y^2 - x^3 + 4x$ en $\mathbb{F}_{11}$ . Entonces $$\textrm{div}(y - 2x) = [(0, 0)] + 2[(2, 4)] - 3[\infty]$$ Lo que significa $y - 2x$ se cruza con $C$ en los 3 puntos de $(0, 0), (2, 4), (2, 4)$ . Como es tangente, contamos $(2, 4)$ dos veces. Podrías imaginarte moviendo ligeramente la línea (o modificando ligeramente las raíces de la curva, lo que llamamos perturbar), y verías que la única intersección se convertiría en 2 intersecciones.
Como se puede ver cuando tomamos los ceros e infinitos, la suma total de los coeficientes (lo que se llama el grado del divisor) se convierte en 0. Igualmente el divisor de una función tiene una suma $\infty$ . $$\textrm{deg}(y - 2x) = 1 + 2 - 3 = 0$$ $$\textrm{sum}(y - 2x) = 1\cdot(0, 0) + 2\cdot(2, 4) - 3\cdot \infty = \infty$$
Es una propiedad interesante de los divisores de funciones que su grado es siempre 0, y la suma es siempre $\infty$ .
Los divisores de funciones (llamados divisores principales) pertenecen a un grupo llamado $\textrm{Prin}(E)$ .
Los divisores de grado cero (que incluyen los divisores principales) forman un grupo denotado por $\textrm{Div}^0(E)$ .
El cociente de estos es un grupo llamado grupo de Picard $\textrm{Pic}^0(E)$ y existe un mapa isomorfo $$J : E(K) \rightarrow \textrm{Pic}^0(E)$$ $$J(P) = [P] - [\infty]$$ Esto es para las curvas elípticas, y se puede demostrar que la operación de la derecha dentro del grupo de Picard corresponde a una interpretación geométrica (lo que se conoce como la ley del grupo de la curva elíptica).
Dadas las clases ideales $\bar{D_1}, \bar{D_2} \in \textrm{Pic}^0(E)$ entonces definimos la equivalencia $\bar{D_1} \sim \bar{D_2} \iff D_1 - D_2 \in \textrm{Prin}^0(E)$ .
Pero en realidad, con superficies de mayor grado, esta operación de ley de grupo que involucra a las líneas ya no funciona porque cualquier curva se intersectará en n lugares de la curva.
Se puede demostrar que toda curva tiene una representación reducida del divisor que corresponde a $$[P_1] + \cdots + [P_g] - g[\infty]$$
Sucede que las curvas elípticas tienen $g = 1$ y así obtenemos el mapa isomorfo simple entre el grupo Picard utilizando el mapeo $J$ arriba. De hecho, todas las curvas de género 1 son isógenas a las curvas elípticas (de ahí su utilidad).
Mi objetivo con esto no es un tratamiento riguroso del tema, sino una introducción intuitiva y algunas pistas donde buscar. Si te sirve de ayuda, no dudes en consultarlo.
