¿Es una función completa?

Question

¿Es lo siguiente una función completa? (Aquí $z\in \mathbb{C}$ ) $$\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{n!}z^{3n}$$

( $***$ ) Así pues, aquí observo primero que la función es una suma de potencias de $z$ . Ahora bien, si demuestro que la suma converge para todo $z\in \mathbb{C}$ el problema se resolverá, ¿verdad?

Utilizando la prueba de proporción obtengo $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2z}{n+1}$ que va a $0$ como $n$ va a $\infty$ , demostrando que la función converge. El único problema es que es mi declaración $(***)$ ¿correcto?

Gracias de antemano.

Answer 1

La función definida por la suma es entera, sí. Para ello, basta con comprobar que el radio de convergencia es infinito (lo que has hecho); el resultado se deduce entonces ya que esto implica que la serie de potencias es uniformemente convergente en todas partes.

Answer 2

El problema puede ser que no estás utilizando la forma correcta de calcular el radio de convergencia. Primero tienes que acertar con lo que $a_n$ significa: siempre es el coeficiente del $n$ -y no otra cosa, por lo que en tu caso debería ser $a_{3n}=2^n/n!$ y los otros son todos cero. Esto también significa que la prueba de la proporción de d'Alembert no es inmediatamente aplicable aquí.

Sin embargo, siempre se puede utilizar la prueba de Cauchy, incluso si hay muchos coeficientes cero involucrados, ya que la prueba de Cauchy sólo se preocupa por el límite superior en lugar del límite en sí, por lo tanto, no se ve afectada por los coeficientes cero en el medio en absoluto: $$\limsup_{n\to\infty}(a_n)^\frac1n=\limsup_{n\to\infty}(a_{3n})^\frac1{3n}=\cdots=0. $$ lo que demuestra que el RoC es infinito.