¿Por qué un mapa de Teichmuller no es un pseudo-anosov?

Question

Dejemos que $X$ sea una superficie riemanniana. Supongamos que $f:X\to X$ es un mapa de Teihmuller con respecto a una diferencial cuadrática $q$ en $X$ . Esto significa que, si $q=dz^2$ en coordenadas locales en una vecindad del punto no nulo de $q$ entonces $f=Kx+\frac1Ky$ para $z=x+iy$ y para una constante $K$ que no depende de las coordenadas locales.

Mi pregunta es: ¿Por qué $f$ no es un mapa de pseudo-anosov para las foliaciones horizontales y verticales de $q$ (definido como $q(v)>0$ y $q(v)<0$ )? Parece que $f$ multiplica las medidas transversales por $\frac1K$ y $K$ . Tal vez deberíamos suponer $k\ne1$ ¿existen otras razones para que un mapa de Teichmuller no sea un pseudo-anosov?

La pregunta está motivada por la comparación del teorema de existencia de Teichmuller y la clasificación de Nielsen-Thurston. Por un lado, todo mapa $X\to X$ es homotópico a un mapa de Teichmuller. Por otro lado, los mapas periódicos y reducibles no deberían ser pseudo-anosov.

Answer 1

Has entendido mal la definición de espacio de Teichmuller. Quizá quieras consultar "A primer on mapping class groups" de Farb y Margalit (en particular los capítulos 10 a 14).

Answer 2

El mapa $f$ es un mapa de Teichmuller con respecto a un par de diferenciales cuadráticas $q_1,q_1$ en $X$ --- diferencial inicial y diferencial terminal. Más precisamente, $f$ mapea la foliación horisontal/vertical de $q_1$ a la foliación horisontal/vertical de $q_2$ .

Para verificar que $f$ es pseudo-anosov necesitamos construir un par de foliaciones transversales medidas que se mapean por $f$ a sí mismo. Pero $q_1$ y $q_2$ pueden no coincidir hasta la isotopía, por lo que los pares de foliaciones horisontal y vertical serán diferentes.