Integración compleja por desplazamiento del contorno

Question

En la sección 12.11 de la Electrodinámica Clásica de Jackson, evalúa una integral involucrada en la solución de la función de Green para la ecuación de onda de 4 potenciales. Aquí está:

$$\int_{-\infty}^\infty dk_0 \frac{e^{-ik_0z_0}}{k_0^2-\kappa^2}$$

donde $k$ y $z_0$ son constantes reales.

Jackson considera dos contornos abiertos: uno por encima y otro por debajo del eje real. Entiendo que para utilizar el lema de Jordan, cuando $z_0 < 0$ tenemos que cerrar el contorno en la mitad superior del plano complejo mientras que si $z_0 > 0$ tenemos que cerrar el contorno en el plano medio inferior.

Lo que no entiendo es por qué está bien considerar contornos por encima y por debajo del eje real cuando la integral original es a lo largo de el eje real. Según tengo entendido, la necesidad de tratar con polos como éste también surge mucho en la QFT, así que quizás se entienda bien desde ese punto de vista.

Answer 1

Un simple problema de referencia

Supongamos que queremos analizar el problema de un oscilador armónico forzado. Denotemos como $\phi(t)$ la posición del oscilador en función del tiempo. El oscilador experimenta dos fuerzas, la fuerza del muelle $-k\phi(t)$ y una fuerza externa $F_{\text{ext}}(t)$ . La ley de Newton dice

$$ \begin{align} F(t) &= m a(t) \\ -k \phi(t) + F_{\text{ext}}(t) &= m \ddot{\phi}(t) \\ F_{\text{ext}}(t)/m &= \ddot{\phi}(t) + (k/m) \phi(t) \\ j(t) &= \ddot{\phi}(t) + \omega_0^2 \phi(t) \tag 1 \end{align} $$

donde $\omega_0$ es la frecuencia de oscilación libre y $j(t)\equiv F_{\text{ext}}/m$ . Utilizamos la siguiente convención de la transformada de Fourier: $$ \begin{align} f(t) &= \int_\omega \tilde{f}(\omega) e^{i\omega t} \frac{\mathrm d\omega}{2\pi} \\ \tilde{f}(\omega) &= \int_t f(t) e^{-i\omega t}~\mathrm dt . \end{align} $$

Con esta convención sobre la Ec. $(1)$ y definiendo $$\omega_{\pm} \equiv \pm \omega_0,$$ encontramos $$ \tilde{\phi}(\omega) = \frac{\tilde{j}(\omega)}{\omega_0^2-\omega^2} = \frac{-\tilde{j}(\omega)}{(\omega-\omega_+)(\omega-\omega_-)}. \tag 2 $$ A partir de la Ec. $(2)$ vemos que la función de Green es $$\tilde{G}(\omega) = \frac{-1}{(\omega-\omega_+)(\omega-\omega_-)}$$ que tiene polos en el eje real. Si queremos calcular $\phi(t)$ hacemos una transformada de Fourier

$$ \phi(t) = \int_\omega \frac{-\tilde{j}(\omega)e^{i\omega t}}{(\omega-\omega_+)(\omega-\omega_-)} \frac{\mathrm d\omega}{2\pi} = \int_\omega e^{i\omega t}\tilde{j}(\omega) \tilde{G}(\omega)\frac{\mathrm d\omega}{2 \pi}. \tag{*} $$

Esta integral es complicada debido a los polos en el eje. La solución que todo el mundo conoce es alejar los polos del eje añadiendo una parte imaginaria a $\omega_{\pm}$ o moviendo el contorno por encima o por debajo del eje real, pero ¿qué significa esto físicamente? ¿Cómo se elige la dirección en la que se empujan los polos o se mueve el contorno?

La amortiguación al rescate

En un sistema real, siempre tenemos algún amortiguación . En nuestro modelo de oscilador, esto podría venir en forma de una fricción dependiente de la velocidad $F_{\text{friction}} = -\mu \dot{\phi}(t)$ . Definición de $2\beta = \mu/m$ la ecuación del movimiento se convierte en

$$\ddot{\phi}(t) + 2\beta \dot{\phi}(t) + \omega_0^2\phi(t) = j(t) . \tag 3$$

La transformación de Fourier de todo ello nos lleva a la Ec. $(2)$ pero ahora con \begin{equation} \omega_{\pm} = \pm \omega_0' + i\beta \end{equation} donde \begin{equation} \omega_0' = \omega_0\sqrt{1-(\beta/\omega_0)^2}. \end{equation}

Por lo tanto, vemos que la adición de amortiguación mueve los polos un poco hacia el origen a lo largo del eje real, pero también les da un componente imaginario positivo. En el límite de un amortiguamiento pequeño (es decir $\beta \ll \omega_0$ ), encontramos $\omega_0' \approx \omega_0$ . En otras palabras, el desplazamiento de frecuencia de los polos debido a la amortiguación es pequeño. Así que ignoremos eso y centrémonos en la parte imaginaria añadida.

Bien, supongamos que queremos hacer la integral $(*)$ en el caso de que $j(t)$ es una función delta en $t=0$ . En ese caso, $\tilde{j}=1$ (estoy ignorando las unidades) y tenemos $$ \phi(t) = \int_\omega \frac{e^{i\omega t}}{(\omega-\omega_+)(\omega-\omega_-)} \frac{\mathrm d\omega}{2\pi} $$ Como ha señalado, para $t<0$ hay que cerrar el contorno en el plano inferior para poder utilizar el lema de Jordan. No hay ningún polo en el semiplano inferior, por lo que obtenemos $\phi(t<0)=0$ . Esto tiene mucho sentido: la fuerza motriz es una función delta en $t=0$ y no debería haber ninguna respuesta del sistema antes de la conducción se produce. Esto significa que nuestra introducción de la fricción impuso una condición de contorno causal al sistema. Para $t>0$ , se cierra en el plano medio superior donde hay polos, y así se obtiene alguna respuesta de la integral.

La amortiguación como herramienta

En muchos casos, no hay amortiguación natural en el sistema. Por ejemplo, la función de Green de la pregunta, $$\int^{\infty}_{-\infty}~\mathrm dk_0 \frac{e^{ik_0 z_0}}{k_0^2 \kappa^2}$$ no tiene ninguna amortiguación y, por tanto, los polos se sitúan en el eje real. Así que lo que se hace es simplemente golpear el contorno un poco hacia arriba o hacia abajo, o equivalentemente añadir $\pm i \beta$ a los polos (la mayoría de la gente escribe $i \epsilon$ en lugar de $i \beta$ ), luego hacer la integral, y finalmente tomar $\beta \rightarrow 0$ . Al hacer esto, estás resolviendo el problema en presencia de amortiguación (o antiamortiguación), y luego llevando la amortiguación a cero al final para recuperar el caso sin amortiguación.

La elección de empujar el contorno hacia arriba o hacia abajo, o, lo que es lo mismo, la elección del signo de $\pm i \beta$ corresponde a la imposición de condiciones de contorno de fricción o antifricción, causales o anticausales. Si se elige la condición de contorno "causal", se encuentra que la respuesta del sistema a una función delta en el tiempo y el espacio es una onda esférica saliente que comienza en la fuente de la función delta. Esto nos da la llamada "función de Green retardada". Si se elige la otra condición, se encuentra que la solución para una fuente puntual es en realidad una onda esférica entrante que converge justo en el punto de la fuente. Así se obtiene la llamada "función de Green avanzada".

La cosa es que puedes resolver un problema usando cualquiera de las funciones de Green. Se "permite" empujar el contorno hacia arriba o hacia abajo (o añadir $+i\beta$ o $-i\beta$ a los polos) porque lo inventaste como un truco para hacer la integral; no está representando un factor real en tu sistema físico. Por supuesto, en los problemas donde hay es amortiguación, la elección se hace por ti. Cuando tienes amortiguación, no puedes tener campos en el infinito; se amortiguarían en el momento en que interactuaran con tus fuentes.

Espero que esto haya sido de ayuda, y de verdad espero que si alguien encuentra errores se lance a arreglarlos.

Answer 2

Creo que esta pregunta ha sido básicamente respondida. Hay un montón de cosas matemáticas por encima (contornos, etc.) pero la pregunta inicial publicada era una pregunta de física.

Brevemente: tienes una ecuación diferencial que describe algún problema físico. Se encuentra la solución. En este caso se trata de una integral que es "graciosa" y requiere que se hagan algunas elecciones para que sea única y tenga sentido. La pregunta de la física es por qué se hacen esas elecciones y qué significan.

Recuerde que una ecuación diferencial por sí misma no es una descripción completa de la realidad física. Al resolver la ecuación diferencial se obtiene todo soluciones potenciales a un problema, lo cual es agradable pero demasiado. Las ecuaciones diferenciales siempre van acompañadas de condiciones de contorno. Las condiciones de contorno son igualmente importantes. Te dicen qué solución es la que tiene sentido para tu problema.

En este caso, como se ha explicado anteriormente, la condición de contorno se retrasa frente a la solución avanzada. Cuando se golpea el sistema en t=0 (con el forzamiento de la función delta), ¿la respuesta del sistema va hacia adelante en el tiempo o hacia atrás? Es decir, ¿no hacía nada antes de t=0 y luego hace cosas (retardado)? ¿O estaba haciendo cosas durante t<0 y luego lo golpeaste justo para que se detuviera durante t>0 y no hiciera nada (avanzado)? La prescripción final (la de Feynman de mover un polo hacia arriba y otro hacia abajo) se llama "ordenada en el tiempo": haces un nuevo tipo de condición de contorno que pega las soluciones retardada y avanzada de una manera particular en t=0.

Como se ha explicado anteriormente, no hay una respuesta "correcta" ni una forma "correcta" de hacer la integral. Depende de las condiciones de contorno. Sin condiciones de contorno, todas las formas están bien.

Si crees que esto de las condiciones de contorno es sólo para este caso y nada muy común, por favor, reconsidéralo. Por ejemplo, todos sabemos intuitivamente que cuando se habla de estados propios de algún hamiltoniano en física, se normalizan. Eso nos da sentido y nos permite calcular probabilidades. También que para un sistema finito las energías están discretizadas. Pero matemáticamente no es así: si sólo se resuelve la ecuación de Schrodinger como entidad matemática, se obtendrán soluciones a todas las energías y las eigenfunciones asociadas. Sólo aquellas especiales con las energías adecuadas son normalizables. Aquí la condición de contorno es que la función de onda es normalizable (va a cero lo suficientemente rápido en el infinito). Sin ella, no se puede calcular nada ni hacer ninguna predicción real de probabilidad sin que se pueda averiguar qué es qué o normalizar las cosas. Así que las condiciones de contorno son bastante importantes y básicas.

Answer 3

Tal como está escrita, la integral simplemente no existe en el sentido de Riemann: hay una singularidad en $k_0=\pm\kappa$ . Así que realmente estamos viendo la parte del Principio de Cauchy, que se define por:

$$\int_{-\infty}^\infty dk_0 \frac{e^{-ik_0z_0}}{k_0^2-\kappa^2}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left(\int_{-\infty}^{-\kappa-\epsilon}+\int_{-\kappa+\epsilon}^{\kappa-\epsilon}+ \int_{\kappa+\epsilon}^{\infty}\right)dk_0\frac{e^{-ik_0z_0}}{k_0^2-\kappa^2}.$$

Para los fijos $\epsilon$ cada integrando es agradable y continuo (cerca de $\epsilon$ del eje real), por lo que si integramos en un contorno que esté ligeramente por encima del eje real, obtendremos algo muy parecido a la integral original, en términos de $\epsilon$ . Si ahora se controla el error en términos de épsilon, se puede hacer riguroso todo el argumento y posteriormente tomar $\epsilon\rightarrow 0$ .

Answer 4

Básicamente lo que ocurre es que deformamos el contorno de integración cerca del polo añadiendo un semicírculo de radio $\varepsilon$ centrado en el polo por encima o por debajo del eje real. Podemos entonces calcular la integral mediante el teorema del residuo y tomar el límite $\varepsilon \rightarrow 0$ correspondiente al contorno original.

Answer 5

Es una aplicación del teorema del residuo de Cauchy, que establece que la integral sobre un contorno cerrado es proporcional a la suma de los residuos dentro del contorno. En este caso, el contorno cerrado es la línea real, que forma el fondo, y la cúpula infinita superior que forma el techo. La integral cerrada es la suma de los polos, y la parte superior de la integral es cero por el lema de Jordan. La integral de la línea real es igual a la integral del dominio entero menos la integral superior del techo. Como la integral superior es cero, entonces la integral de línea real es simplemente igual a la integral de dominio entera, es decir $2 \pi i$ veces la suma de los residuos.